Аритметиката (от гръцки αριθμός = число) е най-старият дял на математиката. Има широко приложение както в ежедневието (например за преброяване на някакви обекти), така и в науката (за най-различни сложни изчисления). Аритметиката изучава свойствата на числата и операциите в числови множества.
Карл Фридрих Гаус посвещава на аритметиката знаменитата фраза: "Математиката е кралицата на науките, а аритметиката е кралицата на математиката."
Терминът „аритметика“ се използва понякога като синоним на „теория на числата“. Това е сравнително старо значение и понастоящем не е много популярно. Теорията на числата се е наричала също така „висша аритметика“, но и този термин е отпаднал от употреба. Това значение на термина аритметика не трябва да се бърка с елементарната аритметика.
Пресмятания възникват много преди създаването на стигналите до нас писмени паметници. Най-старият математически писмен паметник - папирусът на Райд, е от 2000 г.пр.н.е. Египтяните са смятали с адитивна йероглифна система, а умножение са извършвали чрез удвояване, т. е. разбивали множителя на сума от степени на числото 2. Действията с дробите свеждали до операции с дроби от вида 1/n (аликвотни дроби). По-сложните дроби разбивали с помощта на таблици на суми от аликвотни дроби. Деление се осъществявало чрез изваждане от делимото на числа, получавани в процеса на последователното удвояване на делителя. Шестдесетичната бройна система в Древен Вавилон създавала големи трудности при извършване на аритметичните действия.
Гърците отделили методите за изчисляване в отделна наука - логистика, която намерила прием и в средновековна Европа. Гръцките математици рязко разграничавали понятията "число" и "величина" - наричали "числа" само днешните "естествени числа". Те извършвали изчисления с обикновени дроби, но не ги приемали за числа.
Евклид (III в.пр.н.е.) посвещава 7-а и 8-а книга от своите "Елементи" изцяло на аритметиката - алгоритъм за намиране на най-голям общ делител, теореми за прости числа, теория на пропорциите (дробите), обосновава комутативността и дистрибутивността на умножението и др. В ръкописите на Диофант (III в.) намираме действия със степени и някои методи за изваждане - наченки на операции с отрицателни числа.
През II в. китайските математици оперирали с дроби и отрицателни числа. Малко по-късно започнали да извличат квадратни и кубични корени. От V в. имаме писмени източници, доказващи силното развитие на аритметиката в Индия - оттам произхожда и десетичната бройна система, която използваме днес. Индийската математика оказва силно влияние върху развитието на аритметичните знания у арабите. Написаният през IX в. трактат по аритметика от Мохамед ал-Хорезми съдържа използване на десетичната бройна система и методи за събиране, изваждане, умножение, деление и извличане на квадратен корен.
Развитието на аритметиката в Европа е свързано с разпространяването на десетичната бройна система и на арабските цифри. В средните векове широко е използван абакът. Леонардо Пизански (XIII в.) написва своя трактат "Книга за абака", където излага заимстваните от арабски източници методи за пресмятане и ги усъвършенства. Разглежда задачи за тройно правило, рекурентни зависимости, аритметични и геометрични прогресии и др.
Първите стъпки към прилагането на десетичните дроби са от XV в., а широко разпространение те получават през XVI в. след публикуването на трактата на С. Стевин. Тогава се прилагат и различни схеми за умножение и деление на многоцифрени числа. Отрицателните числа се появяват в Европа за първи път в бележки на Леонардо - възприема ги като дълг. Операциите с тях са систематизирани от М. Щифел (XVI в.).
Аритметичните действия с ирационални числа по това време се ограничават с квадратни корени. С. Дал Феро и Н. Тарталия при решаването на уравнения от трета степен започват да използват кубични корени. Понятието "реално число" влиза в употреба постепенно във връзка с развитието на аналитичната геометрия и математическия анализ. Аритметиката на комплексните числазапочва с работите на Р. Бомбели (XVI в.) и е окончателно изградена с помощта на формулата на Моавър и на Леонард Ойлер.
Логаритмуването започва да се прилага през първата половина на XVII в. след работите на Дж. Непер и Й. Бюрги. През XVII в. В. Шикард и Блез Паскал създават независимо един от друг сметачни машини. Във връзка с последвалото развитие на изчислителната техника актуално става търсенето на алгоритми - те позволяват да се изпълняват аритметични действия с най-малък брой елементарни операции.
През XIX в. е открит методът на моделирането за обосноваване на математически теории. Този метод позволява непротиворечивосттана една математическа теория да се сведе до непротиворечивостта на друга теория. Така непротиворечивостта на евклидовата геометрия се свежда до непротиворечивостта на аритметиката на реалните числа.
Към края на XIX в. обосноваването на аритметиката изглежда завършено. Дедекинд и независимо от него Джузепе Пеано посочват система аксиоми на аритметиката на естествените числа, от която могат да се изведат всички известни твърдения на тази наука. Освен това теоретикомножественият подход позволява на Рихард Дедекинд, Георг Кантор и Карл Вайерщрас да построят теорията на реалните числа.
След като стават известни парадоксите в теорията на множествата, възниква въпросът дали парадокси ще се появят в аритметиката на естествените и на реалните числа. Според Давид Хилберт в теорията на множествата възникват парадокси поради това, че безотказно работещи при крайни системи от обекти начини на разсъждаване се прилагат без достатъчно обосноваване при безкрайни съвкупности. Неговите надежди да се справи с възникналите парадокси не се оправдават.
През 1931 г. Курт Гьодел доказва непълнотата на формалната аритметика. Той показва, че непротиворечивостта на една формална система може да бъде обоснована само с по-силни средства от тези, които са формализирани в дадената система.
През 1936 г. Г. Генцен намира доказателство за непротиворечивостта на формалната аритметика, което използва трансфинитна индукция. От опитите за преодоляване на трудностите, свързани с обосноваването на аритметиката на реалните числа, възниква конструктивното направление в математиката.
Събирането е основното аритметично действие. В своята най-проста форма събирането съчетава две числа (събираеми) в едно число (сбор). Събирането на повече от две числа може да се разглежда като последователно събиране на двойки числа, а многократното събиране на числото 1 е най-простата форма на броене.
Събирането е комутативно и асоциативно действие, поради което редът на събиране на двойките числа не променя крайния резултат.Неутралният елемент на събирането е числото 0 – събирането му с произволно число има за резултат самото число. Обратният елемент, събирането с който има за резултат 0, е съответното число с обратен знак. Например, обратният елемент при събиране със 7 е -7.
Събирането на положителни числа може да се опише геометрично по следния начин:
- Ако a и b са дължините на две отсечки, при поставянето им една до друга общата дължина на новополучената отсечка ще бъдеa + b.
- Изваждането е аритметично действие, обратно на събирането. При него се намира разликата на две числа, умаляемо и умалител. Ако умаляемото е по-голямо от умалителя, разликата е положително число, ако умаляемото е по-малко от умалителя, разликата е отрицателно число, а ако двете са равни, разликата е 0.Изваждането не е нито комутативно, нито асоциативно. По тази причина често е удобно то да се разглежда като събиране на умаляемото и умалителя, но с обратен знак (a − b = a + (−b)). В тази форма могат да се използват всички свойства на събирането.Умножението е второто основно аритметично действие. При него също от две числа, множители, се получава едно ново число,произведение. Подобно на събирането, умножението е комутативно и асоциативно. Освен това то е дистрибутивно по отношение на събирането и изваждането. Неутралният елемент при умножение е 1, произведението на произволно число с 1 е равно на изходното число. Обратният елемент при умножение на дадено число, различно от 0, е неговата реципрочна стойност. Числото 0 няма обратен елемент при умножение.Делението е аритметично действие, обратно на умножението. При него се намира частното на две числа, делимо и делител. Частното при делител 0 е неопределено, независимо от делимото. При положителни числа, ако делимото е по-голямо от делителя, частното е по голямо от 1, и обратното. Частното, умножено с делителя, е равно на делимото.Делението не е нито комутативно, нито асоциативно. По тази причина понякога е удобно то да се разглежда като умножение на делимото и реципрочната стойност на делителя (a ÷ b = a × 1⁄b). В тази форма могат да се използват всички свойства на умножението.
