ЧИСЛО И БИТИЕ

Пълният текст може да се свали от кой да е от следните три адреса: тук или тук, или тук.

Васил Пенчев

ЧИСЛА

Текстът е първа част от по-широк замисъл − „Числа“ (Така се казва на гръцки и от него във всички езици четвърта глава от Библията, посветена на преброяването на израилтяните и похода в пустинята). Неговият стремеж ще бъде да представи едно осъвременено питагорейство. Предвиждат се още две части:

ЧИСЛО И ЗНАК. Синтактично-семантично интерпретиране на вълновата функция

ЧИСЛО И ИСТОРИЯ. Математизирането на историята

ПЪРВА ЧАСТ

ЧИСЛО И БИТИЕ

Субективна, честотна (обективна) и единична (сложностна) вероятност:ново питагорейство

The concept of probability – The probability of a single event – Pythagoreanism –Badiou’s ”Being and event” – Process philosophy – Logos and Number – Husserl on„Galilean mathematization“ – Three options about the notion of “probability” –Probability as a code – Phenomenological, transcendental, and eidetic reduction –Derrida in the trace of Trakl after Heidegger – What are numbers in Badiou? – The universe-computer – Quantum mechanics and relativity – Gibbsian and Boltzmannian statistics – Infinity and totality – Mach’s principle – Russell on mathematics – Linearity and cyclicity – Hilbert’s problems – Gentzen’s sequent calculus – Vicious or hermeneutical circle – The Kochen-Specker theorem –Nonadditivity – Truth – Episteme in the Nicomachean Ethics and in Foucault –Ramsey on probability – Quantum probability – Kolmogorov, Cox, and Laplace on probability – The quantum propositions of von Neumannn – The „hidden parameters“ – The contribution of non-being – The axiom of choice enhanced –Turing Machine and quantum computer – Kolmogorov complexity – Complexity and randomness – Information „curvature“ – Time – Algorithm and standard – P vs. NP – The special element of a set – Cardinal and ordinal number after von Neumann –Dazeit and cyclic time – An axiom of coherence – Lattices on a qubit – Von Neumann vs. Gödel – Institution theory – The micro world as the universe or as a quantum computer – The new paradigm – The coincidence of model and reality in quantum mechanics – Bell’s criticism (1966) – The „freewill theorems” – Whether is the mathematics of the real world is Hilbert or Gödel one? – Conclusions and the forthcoming

Понятието вероятност − Вероятност на единично събитие – Питагорейство − „Битие и събитие” на Бадиу – Процесуалната философия – Логос и число − Хусерл за „Галилеевата математизация“ − Три възможности за понятието „вероятност“ – Вероятнността като код – Феноменологична, трансцендендентална и ейдетична редукция – Дерида по следата Тракъл у Хайдегер – Какво са числата по Бадиу? – Вселената-компютър – Квантовата механика и теорията на относителността – Гибсовска и Болцмановска статистика – Безкрайност и тоталност – Принципът на Мах – Ръсел за математиката – Линейност и цикличност – Проблемите на Хилберт – Генценовото изчисление на секвенциите – Порочен и херменевтичен кръг – Теоремата на Кохен и Шпекер – Неадитивността – Истина – Епистема в Никомаховата етика и у Фуко – Рамзи за вероятността – Квантова вероятност – Колмогоров, Кокс и Лаплас за вероятността – Квантовите пропозиции по фон Нойман – „Скритите параметри“ – Приносът на небитието – Усилена аксиомата за избора – Машина на Тюринг и квантов компютър – Сложност по Колмогоров – Сложност и случайност – Информационна „кривина“ – Времето – Алгоритъм и еталон – P срещу NP – Особеният елемент на едно множество – Кардинал и ординал по фон Нойман – Dazeit и цикличното време – Аксиома за кохерентността – Решетки върху кюбит – Фон Нойман срещу Гьодел – Теория на институциите – Микросветът като вселената и като квантов компютър – Новата парадигма – Съвпадение на модел и реалност в квантовата механика – Критиката на Бел – „Теоремите за свободната воля“ – Хилбертова или Гьоделова е математиката на реалния свят? – Изводи и предстоящото

Предмет на настоящия текст е философското проясняване и съпоставяне на основните подходи за въвеждане или обосноваване на понятието вероятност с мотивация, произлизаща от квантовата механика и информация, от една страна, и общата теория на историческите процеси, от друга.

Общото за тези две и някои други неспоменати и сходни научни области е неизбежността на привличане на понятие за вероятност, което да е приложимо и за вероятност на единично събитие по начин, който да е различен от въвеждане на субективна вероятност {1} .

Нашият път в крайна сметка ще ни отведе към онази позиция във философията, известна като питагорейство, която настоява за фундаментална или субстанционална, но при всяко положение основополагаща и онтологична роля на реалията число. При такъв подход ще говорим не за модели, а за същности, които са математически.

След такъв анонс е неизбежно да ситуириме настоящата работа по отношение на идеите на големия френски философ Ален Бадиу и особено на неговия фундаментален труд „Битие и събитие” (Badiou 1988). Почти всички от неговите изходни постановки могат да бъдат приети и по-специално: значението на Хайдегер за съвременната философия (напр. Badiou 1988: 7); разбирането за математиката като онтология (напр. Badiou 1988: 7-10) и дори и в известен смисъл {2} като мета-онтология (Badiou 1988: 20); фундаменталната философска роля на теорията на множествата, математическата логика, теорията на категориите (напр. Badiou 1988: 17).

Заедно с това ще изтъкнем редица акценти, специфични за настоящата работа. На първо място това е холизмът и същностната, следователно математико-онтологична връзка с квантовата механика и информация. Трябва да се подчертаят също концепцията за цикличността, идеята за рационално осмисляне на теологията („Теологията като строга наука”, ако си позволим да перифразираме Хусерл), тълкуването философски на случайността като сложност по идеите на Колмогоров и Мартин-Льоф (Колмогоров 1969: 6; Мартин-Лëф 1966; 1966A: 3.1 и следв., особ. 3.7-3.14; 1966D), свързването на математико-онтологическа числовост с понятието за вероятност и философската категория за възможност и с тази за времевост или време, изясняване на необходимата трансформация в самата възможност за знание, значението на Хусерл, Дерида и на редица съвременни философи за обосноваване за целия този кръг от идеи. Всичко това налага на съответното място едно малко по-подробно обсъждане на възгледите на Ален Бадиу в подобен изменен контекст.

Настоящата работа би могла да бъде поставена и в контекста на процесуалната философия, едно твърде разноречиво течение: затова е уместно да се определи в неговите рамки по-точно отправната точка. Поради широкото позоваване на възгледите на Ръсел и фундаменталната роля, която се отрежда на математиката, естествено е да се обърнем за това към възгледите на Уайтхед, и то по-специално към основното му произведение „Процес и реалност” (Whitehead 1978). Същественото място, което отделяме на квантовата механика и информация, предполага разглеждането му и в такъв контекст (Epperson 2004).

В сравнение с възгледите на Бадиу връзката на настоящата работа с подходите на Уайтхед е по-скоро периферна. Тя се осъществява по-скоро чрез дуализма, отколкото чрез фундаменталната роля на математиката, за каквато Уайтхед не споменава. В такъв отрицателен смисъл, освен неговата основополагаща работа, може да се посочи и „Въведение в математиката“ (Whitehead 1911), в която също би могло да се очаква поне намек за фундаменталност на математиката. Но няма.

Що се отнася до основния му философски патос за това, че традиционната философия не отделя адекватно място на процесите, а субстанциите са не само изходна точка, но и главен предмет на изследване, то той може да бъде споделен и чрез него да се обоснове „по процесуалистки“ прехода от „субстанциалната“ теория на множествата към „дуалистичната“, „субстанциално-процесуална“ теория на категориите. В нея на морфизмите се отделя дори по-голямо внимание, отколкото на обектите. Разбира се, вдъхновени от допълнителността на квантовата механика, не търсим някакъв нов, „най-после истинния“, сега процесуален монизъм на морфизмите, а своеобразна „суперсиметрия“ и пълна относителност на морфизми и обекти. Собствено подобна идея във философията на Уайтхед също не съм успял да открия.

Урокът не само по физика, но и по философия, който преподава Айнщайн чрез всеобхватното − всеобхватно дори експериментално − потвърждение на концепцията за относителността, е по-близък не само като хронология към процесуалността. Относителни са само движенията. Така, доколкото физическите движения са естествено процеси, относителността с нейното епохално значение за човешкото знание навлиза през един имплицитен процесуалистки подход.

Нещо повече, нашият подход към философията на квантовата механика и информация потегля като едно още по-широко навлизане на процесуалността под формата на обобщаване на Айнщайновия призив за „всеобща ковариантност“ и до дискретни физически движения (респ. математически морфизми). Тогава понятието за скорост е неопределимо по обичайния начин, но може да се търси негово разширяване по посока на вероятностно разпределение на случайно пространствено местоположение в духа на квантовата механика, което ще мислим и чрез колмогоровска сложност. Всичко това идва да покаже плодотворността на процесуалния подход на съвременния етап, която обаче е лесно да заслепи и да се абсолютизира до изначалност именно на процесите.

Всъщност обаче, макар и зачената може би като процесуалност, идеята за относителност се развива, „пораства” и  отива отвъд процесуалността и дори отвъд себе си като се самоприлага: относителността е относителна и така обектите се оказват „възстановени” и на основата на последователно и радикално процесуално мислене. Можем ли сега вече да съзрем и философския подвиг на Нилс Бор за въвеждане на дуалност или допълнителност, в крайна сметка отвеждащ ни при изворите и необятното течение, „процесът“, „Даото“ на китайската философия?

В зората на европейската цивилизация, когато се появява и самата идея за философия, а и дума, за да я обозначава, Логосът и Числото са заедно, дори обвити от мистична или сакрална аура при предсократиците, сред които понякога забравяме да причислим – както впрочем пропуска например и Хайдегер {3} – питагорейците {4} . Езотерично и свещено, дори забранено, за да се опази от профанизиране, Числото обаче се просмуква в идеята и ейдоса на Платоновото учение, измества се от Логоса в публичното философстване. Така европейската цивилизация задава огромна амплитуда за Числото: от маргиналия до сакралия.

В нашата епоха Хусерл критикува „Галилеевата математизация“ (Husserl 1976K: 20-60), която някои не особено далновидни или може би дори злонамерени философи са склонни да тълкуват като зачеркване на Числото изобщо за феноменологията, и то от математика Хусерл, а не като критика на един конкретен и непромислен в дълбочина подход, който присъединява Числото към Битието по един съвсем външен и случаен начин и така го скрива и дори забранява за дискусия.

В контекста на самата работа и нейния „кризисен“ патос на пръв поглед изглежда, че Числото, и то особено чрез метода на непряка математизация (Husserl 1976K: 32-36), въведена чрез образа на Галилей, губи и в крайна сметка унищожава смисъла (Husserl 1976K: 42-45) и така води и вече е довела европейската цивилизация до кризата, кулминирала в невероятно жестоки и мащабни, световни войни.

Въпросът за смисъла и неоправдания патос на грешно разбиране, легитимиращо всъщност порочно, но елементарно и сякаш самопоянтно дори за медиите хуманитарните дисциплини, изисква известно осветление, макар и то да се намира встрани от руслото на настоящата работа: една бележка по деридовски в „белите полета на страниците“ на този текст. Отсъствието на смисъл като негова загуба и дори унищожение или отстраняване не следва да се обърква със същността на смисъла като отсъствие. Смисълът е в отсъстващото точно значение като отсъстващото на точното значение, чрез което се имплицира неявното точно значение на една цялост, винаги обхващаща експлицитно казваното и искането да се каже, за да могат не само да продължат да съществуват, но и изобщо да възникнат.

Не въпреки, а именно заради това и обратно на тривиалните, но неверни представи смисълът като отсъствие увеличава значението на явно присъстващото (Gadamer 1960: 133-134). Това неопределимо нарастване на значението е чрез неговия фон, на който да се открои, или контекст, спрямо който да се определи, разбере и тълкува: т.е. да се о-смисли. Товане изключва точното определение на конкретен смисъл чрез точнофиксиране на една конкретна цялост, граници на фона или контекста, чрез което липсващото също се фиксира и оттук точния придатък до пълното конкретно значение от смисъла към частното значение като значението на дадена част от цялото.

Нещо, и то много повече: можем да мислим самото цяло, или с други думи − универсалното цяло, не само като зовяща, но недостижима откритост, каквато е изглеждала винаги на човека, но заедно с това, не по-малко, нито повече, също така и като завършеност и следователно точност, заставайки на позицията на Бога, възможно строго само бидейки тълкуван като човешка способност. С това също така и човекът придобива и дарява всекиму цялостност тъй като интегрира в себе си своята най-чужда способност – на Бога, творящ непосредствено, – вече не трансцендентна и поради това разполовяваща го в схизмата на всяко разделение или лудостта на шизофренията, схизмата в главата или обществото (Deleuze, Guattari 1972: 329-330; 406-407; 1980: 183-184)

Нашият прочит се стреми да отиде и отвъд чрез възвръщане през сега мнимо, но не нереално трансцендентното в предишното, в началото и произхода. Едва ли този текст на Хусерл, чието подзаглавие е „Въведение във феноменологичната философия“ следва да се откъсва от всички останалите негови работи:

Това се потвърждава от развитието на рационалните науки, от физическите. Тяхната велика епоха започва в Новото време все пак тъкмо поради това, че още в древността (и по същество в Платоновата школа) геометрията, изградена веднага високо и във велик стил,  става плодотворна за физическия метод като чиста ейдетика. Става ясно, че същността на материалните неща е да бъдат res extensa, че следователно геометрията е съотнесената онтологична дисциплина към един същностен момент на такава предметност, пространствената форма. Става ясно обаче по-нататък също и че общата (в нашия начин на изразяване, регионалната) същност на нещата достига много по-далеч. Проличава в това, че развитието едновременно следва посоката да изгради една нова област, геометрията с координатните и с равнинните функции за рационализиране на дисциплините с емпирично предназначение. От тази тенденция се появяват великолепни цветове във формалните и материалните математически науки. Със страстно рвение те бяха, съотв. са изграждани, като чисто „рационални науки“ (в нашия смисъл като ейдетични онтологии), и то (в началото на Новото време и още дълго след това) не заради свои собствени, а заради емпиричните науки. Те после, а и богато, донесоха очакваните плодове в паралелното развитие предизвикалата много възхищение рационална физика (Husserl 1976Id(1): 24-25).

„Жизненият свят като забравения смислов фундамент на естествените науки“ (Husserl 1976K: 48-54) всъщност не зачерква всички останали работи, към които принадлежи цитирания току-що обширен пасаж, а апелира към непосредствената цялостност на света с човека в хоризонта на жизнения свят:

Така всяко каквото и да било (или също така и „философско“) обратно осмисляне на изкуствената [kunstmäßigen] работа до нейния същински смисъл винаги спират при идеализираната природа, без осмислянията радикално да се проведат чак до последната цел, която новата наука с неотделимата от нея геометрията, израствайки от преднаучния живот и неговия околен свят, по начало трябваше да служи, цел, която все пак необходимо лежи в самия този живот и трябва да бъде съотнесена с неговия жизнен свят. Живеещият в този свят човек, в това число природоизпитателят, може да поставя всички свои практически и теоретични въпроси само на него, теоретично да се отнася само до него в своя отворен безкраен хоризонт от неизвестност (Husserl 1976K: 50).

Въпросът за смисъла, и то особено за природоизпитателя, както беше теоретично изпробван няколко абзаца по-горе, трябва да се премери на тази „последна цел“ по Хусерл чрез обратно и практическо „съотнасяне с неговия жизнен свят“. Как? Жизненият свят се удвоява непосредствено, т.е. не само чрез техническите приложения на теориите, а преди всичко като метафорична знаковост, посочваща необикновени решения и на житейските, и на теоретичните въпроси поради тяхното сдвояване, вплитане и пълнотата на житието, което вече е наистина житие-битие.

Тази цялостност обаче е не друга, а ейдетична, феноменологична и трансцендентална. Само така философията може да е или да стане „строга наука“. Следователно трябва да търсим пътя, по който Числото не разрушава, а се слива и вписва в такава изначална и непосредствена цялостност. Още по-малко човекът или субектът следва да се противопоставя на цялостността и оттук на числото. Неговата същност е да бъде цялостност, въплътена в едно винаги конкретно тук и сега. Така чрез смисъла, който придава, несигурен, неопределен и неточен владее цялостността. Но тя, цялостността идва циклично, т.е. от отвъдното на хоризонта в неговия център, в сигурността, определеността и точността на аподиктичния субект, на числото и техниката.

Числото, скрито от нас, всъщност владее чрез Техниката (Husserl 1976K: 45-48), мислена и по Хайдегер (Heidegger 2000: 7-36). Но където е опасността, там е и спасението, цитира нееднократно Хайдегер Хьолдерлин  (напр. Heidegger 1981: 21). В Техниката на Виртуалността от XXI век Числото е избуяло необезпокоявано в техниката, чиято същност на Техника и чрез това на онтология вече е вездесъща и винаги пред очи. Неочаквано, каквото Битието всякогаш е за хората, виртуалността откри перспектива към основата като Историята, т.е. към фундаменталната история (Пенчев 2008: 98-133).

На този фон, който ще изникне за погледа, когато достигнем ръба на текста, да го възвърнем в началото към скрупульозно детайлно философско вживяване в единството на понятия за вероятност, в дълбочина обусловили възможност за наше разбиране на виртуално и действително.

Така, посочени в заглавието, има три възможности {5} за понятието „вероятност“, чиято доксография ще пренебрегнем заради тяхната епистема типично по философски.

При общоприетите определения за вероятност едно неотрицателно число, не по-голямо от единица, се присъединява към един нечислов (в общия случай) обект в качеството на негова вероятност. Изведеното в предното изречение е валидно както за субективна, така и за обективна, а дори и за вероятност чрез сложност. Първата бележка е че ограничението приписваното число да е в затворения интервал между нула и единица е лесно да бъде обобщено (Dirac 1942, Bartlett 1945, обзор в Penchev 2010) и до отрицателни числа, по-малки или равни по абсолютна стойност на единица, после до произволни положителни реални числа, до произволни реални числа и най-сетне до произволни комплексни числа. Обобщенията произтичат по-скоро от приложенията,  напр. в областта на квантовата механика и информация или макар и без никаква връзка с тази област − в теорията на виртуалните системи (Dimitrov 1998), но също и по вътрешно математически съображения.

В такъв случай същностно остава съпоставянето на число на нечислов в общия случай обект. Имайки предвид първично философската насока на настоящото изследване, както специфичните теми на направлението на феноменологията, то ще подчертаем изначалната значимост на математически строго определените (непосредствено или имплицитно чрез фиксирането им в аксиоми) понятия за изображение и функция. Първото от двете ще оставим за съпоставянето на произволни обекти, а второто ще ограничим до математически, и то най-често числови.

Следователно същността на вероятността е изображението на произволни обекти в числови: тогава на всеки обект изображението е съпоставило не повече от едно число, т.е. или едно, или нито едно. Множеството от обекти, на които е съпоставено (едно) число, се нарича дефиниционна област на изображението. Така нашият поглед към понятието вероятност, след като сме анализирали нейната същност, се оказва изместен към означаването, наименуването на обекти чрез числа, за което общоприетият термин екодиране.

Вероятността е еднозначен, но конвенционален код на обект. Еднозначността произтича от използването на родовото понятие за изображение. Според общия тип на конвенцията – както ще можем да видим след малко – ще можем да разграничим субективната и обективната вероятност, но и да покажем, че при фон Ноймановото тълкуване на проекционните оператори в Хилбертовото пространство като съждения относно квантово-механични системи (von Neumann 1932: 130-134) това разграничение не само се заличава, но и че преливането между тях съответства на необикновения подход на квантовата механика и особено информация.

Заедно с това още сега следва да привлечем по-общо съображение от собствено семиотичен и в крайна сметка, както веднага ще отбележим, философски характер, произтичащо от въпроса, дали всеки код на обект енеизбежно конвенционален. Същият проблем може да се постави и по-широко: дали всяко означаващо (и оттук всеки знак) е непременно конвенционално по отношение на означаемото.

Тъкмо феноменологията, която Хусерл започва да разработва, издига хипотезата за феномените и нещо повече, те да бъдат възведени в основен обект за философията, чрез което полагане тя вече да не е интерпретативна и може би дори не хуманитарна наука, но строга:Philosophie als strenge Wissenschaft!

Следвайки Хусерл ние също както ще разграничим, така и ще отъждествим феноменологичната и трансценденталната редукция:

Отношението на феноменологичната редукция и еднакво като „трансцендентална“ от сферата на чистото преживяване почива тъкмо върху това, че ние в тази редукция намираме една абсолютна сфера на субстанции и ноетични форми, към които принадлежат определено подобни преплитания според иманентната същностна необходимост на тези удивителни съзнателни съдържания на едно така и така дадено определено или определимо, което за самото съзнание е принципно друго, нереално [irreell], трансцендентно и че тук е първоизточникът за единствено мислимото разрешаване на най-дълбоките проблеми на познанието, които засягат същността и възможността за обективно валидно познание на трансцендентното. „Трансценденталната“ редукция упражнява ἐποχή по отношение на действителността: обаче към това, което съдържа от това останало съдържа, принадлежат ноемите с лежащото в самите тях ноематично единство и следователно начина, по който реалното [Reales] в самото съзнание е еднакво осъзнато и специално дадено (Husserl 1976Id(1): 228).

Освен това ще тълкуваме полученото чрез феноменологичната редукция най-вече семиотично, а трансценденталната − собствено философски.

Основанието за семиотично тълкувание може да ни даде Хайдегер чрез прочутото си определение за феномен в „Битие и време“: „показващото-се-в-самото-себе-си, очевидното“ (Heidegger 1977: 38). Феноменът е сам себе си от себе си показващ в себе си. Ако си позволим пределно широко обобщение: философия е онази семиотика, която не е конвенционална, т.е. тя е онази, в което името и нещото, за което то се отнася, се сливат. Такива имена са „от Бога“ и заедно с това са „Той, самият“. Същият смисъл бихме могли да вложим и чрез парадоксално твърдение: философията е онази семиотика, която вече не е семиотика.

Основанието за собствено философско тълкувание в смисъла на класическата немска философия и особено на Кант, произтича в по-голяма степен и решаваща степен от Хусерл, ако феноменът бива мислен като „самия предмет“, т.е. като такава познавателна ситуация, в която ‘явлението’ не просто е поставено в съответствие с някакво трансцендентно ‘нещо в себе си’, но също така и най-вече, т.е. определящо е положено тяхното съвпадение.

В не по-малка степен Хусерл (и твърде плодотворно за насоката на изследването сега) обсъжда феноменологията в перспективата на картезианството (Husserl 1973), и то като негово окончателно избистряне (Husserl 1973: напр. 38). Тогава феноменът е аподиктично очевидната мисъл. Това е мисълта, която може да заскоби своя обект, ограничавайки се само до̀ или вграждайки в себе си чистата насоченост към нещо, интенционалността, но не и неговата конкретност, интенцията на мисълта. Всъщност такава е чистата мисъл, равна на себе си и така със своето съдържание. Така тълкуван, феноменът, т.е. по-скоро картезиански, отново има своя семиотичен двойник, обявен сега обаче не от Хайдегер, а по-скоро проследен от Дерида {6} . Говорим вече за текст, който може да се затвори в себе си, в едно семиотично ‘нещо в себе си’, като се изведе не просто от контекста си, но от контекст, т.е. от всеки възможен контекст. Това е текст, все пак обаче по Дерида невидимо преследван от “‘следата’”, независимо дали целяща да го ръкоположи или низвергне в контекста на писане, като може би скрито унижи самодостатъчността и самодоволството на избликващото и изчезващото говорене, логосът като мълния.

Доколкото интересът ни към Дерида е спорадичен − не към него самия, а заради Хайдегер, с което обаче и единствено можем да останем в неговата същност като мислител, не „лого-фало-центричен“, само за да подчертае необходимия отказ от всеки център, за да се остане в сърцевината на битието и философията, − то ще се насочим към негов текст (Derrida 1987), който проследява Хайдегер по Тракъл, по зова на първия към втория (Derrida 1987: 22).

Нека добавим още два акцента. Ще тълкуваме следата и като движението на Dasein, необходимо удържащо целостта: на текста както на битието, текущо пренаписване или преподреждане. Така Хайдегеровата съдба от „Битие и време“ (Heidegger 1977: 505-512 [§ 74]) отново е следа.

Ще проследим как Дерида нанася майсторски последен щрих, с който завършва и започва своето творение Хайдегер чрез стих от Тракъл:

Сега ето хипотезата, която искам да поставя … Geist-ът не може да не съедини това вплитане в мярката, в която той е − за Хайдегер, ние ще проверим − едно друго име за Едното и Versammlung-a, едно от имената за събиране и съединяване (Derrida 1987: 24).

Ще под-чертаем цикличността на Едното и насъбирането на Versammlung, за да се опитаме да проследим самата следа до последната черта, която завършва и създава целостта и заедно с това я унищожава, но само за да я подготви за следваща стъпка – черта от проследяването:

Нанасяме накрая последна черта [trait], самия чертеж  [trait], Riss. Тази дума чертае [trace] също  разликата. Тя често отново се възвръща, за да означи убежището, чрез което духът се отнася към себе си … (Derrida 1987: 171).

Кълбо на целостта и черта, просто точка върху него, която го завършва и започва, показва целостта, но с това я унищожава, за да я породи чрез следващото тире на трасиращата следа:

Предаването поради повторение [frayage] на този щрих (следа, привличане, туптене) пренася обратно, по такъв начин и отначало духа в душата (Derrida 1987: 172).

Дерида използва специализиран термин от неврологията, frayage, който означава предаване на нервен импулс при нееднократно възбуждение и който преведохме току-що само частично и неточно чрез „предаване поради повторение“. Но сега, в този обяснителен абзац ще поднесем „неврологичната“ може би не само метафора на туптенето на духа в душата. Всяка контракция, туптене на душата го изтласква в безкрайността по артериите, за да се завърне сякаш скрито по вените за следващ тласък.

Двойно забележителна черта. Повторно удвоена, самата двоен белег и в самия дух, тя е духът, в който се вписва, чертае се [trace], оттегля се или се прибира (Derrida 1987: 174).

Коя е тази двойно забележителна черта? Последната точка върху целостта на кълбото, която е и самото то в предстоящия му сърдечен цикъл до самото себе си, собствената разгърнала се пълнота.

А ето и самия стих от Тракъл, който е последният щрих, самата цялост наGeist у Хайдегер, проследена от Дерида, за да се проследи самата следа  като нанасяне на тази решаваща черта, всъщност зачертаваща чертежа в неговото начало:

Gott sprach eine sanfte Flamme zu seinem Herzen:

O Mensch! (Derrida 1987: 180)

[Бог говореше нежен пламък на своите сърца:

O, човече!] .

Виждаме, че във всички случаи обхождаме границите на едно може би или почти недостижимо съвпадение, или дори едва ли не равенство и прилежащото с него корелативно, понякога или често стремление към и за него, отличимо в няма, онтологична разлика – даденото винаги за нас. Говорим за еднаквост и различие, за една конкретна епистема по Фуко (Foucault 1966: 13), която заедно с това има амбицията и претенцията да бъде всяка епистема.

Преповтаряме, за да изясним спрямо известното, какво е новото в крачката, всъщност направена вече пак от Хусерл, която ще предприемем −ейдетична редукция:

Напротив, чистата или трансцендентална феноменология ще се обосновава не като наука за фактите, а като същностна наука (като „ейдетична“ наука);като наука, която ще установява изключително „познание на същността“ и поради това – никакви факти. Съответната редукция, която извежда от психологичния феномен към чистата „същност“, респ. в оценяващото мислене от фактичната („емпиричната“) общност – към всеобщност на същността, е ейдетичната редукция (Husserl 1976Id(1): 6).

В допълнителните материали („втория полутом“ от същия том в Хусерлиана) Хусерл дава изключително ценно за нас обяснение за мотивацията на ейдетичната редукция:

Продължението на разглеждането протича тогава така, че най-напред още по-отблизо обяснявам ейдетичната редукция. За да получим чиста ейдетична наука и за да бъдем сигурни на всяка крачка и преди всичко в началото, че ние няма да привнесем нищо от фактическа наука; също така и да бъдем сигурни за погрешни тълкувания, които от самото начало са дали друга интерпретация на ейдетичното някак във фактичното, осъществяваме принципна „ейдетична редукция“. В това число също и изключване на Аз-а като факт (Husserl 1976Id(2): 528).

Ние в своя контекст ще настоим на изначалното битие на ейдетичното математически: че винаги има особен елемент, чрез което всяко нещо или съвкупност от неща може да се „циклизира“ или във фундаментален философски аспект  да се превърне в тоталност, на феноменологичен език – във феномен.

В ейдетичната редукция можем да открием ейдоса, облика, идеята на неща, варирайки ги във възможности, за да разграничим кои вариации запазват нещото, като само му прибавят или отнемат едни или други акцидентални белези или предикации, от тези, които го преобразуват в нещо друго. И така, ейдетичната редукция цели да определи нещото като съвкупност от забранени възможности, тъй като реализирането на коя да е от тях води до трансформирането му в друго или разрушаването му. Множеството от забранени възможности е прието да се обозначава катосъщност, като заедно с това забраната на възможността се представя чрез избраната в битието на нещото алтернатива.

Добър на̀глед е аксиоматичният подход, при който същността на дадена математическа структура или теория се постулира от пълна инепротиворечива съвкупност аксиоми. Забележете, че при това две структури, различаващи се напр. само по отрицание на една аксиома, както евклидовата и неевклидовите геометрии,  се приемат за различни.

Тогава действителността на нещо, въплътена в неговата същност, всъщност е определена като отношение на две множества от възможности и не е трудно да му се присъедини вероятност, при това съотнесена тъкмо с неговата същност и можеща евентуално да претендира че не е просто конвенционално число, но Числото на това нещо.

Такова намерение е може би прекалено и крайно, но най-вече неговата проблематичност не бива да скрие, че успяхме във философски план – именно чрез Хусерловата ейдетична редукция – да представим действителността като отношение на възможности и да очертаем алея със забележими още отсега разклонения тя да бъде мислена числово.

Завръщайки се чрез етимологията в произхода, зад „ейдетична“ откриваме разбягваща се амплитуда от смисли. На единия полюс се оказва ейдосът като облик, мислен като видим, външен и акцидентален на същността, нещо повече, скриващ я, маскиращ я и дори пред- и злонамерено изопачаващ я. На другия − ейдосът е скрилата се от профанизиране нетленна или вечна идея на нещото, сакралното питагорейско Число.

Така ейдосът е не повече, ни по-малко пространството на истината като adæquatio, концепция, призвана да удържа единството на разлетелите се в противоположни посоки смисли на ‘ейдос’. Същото удържане в равновесие и успокоение можем да постигнем, следвайки Хайдегер и по негово мнение, и Гърците във вмисляне или естествено оставане в истината като нескритост: истината е онзи облик, който е същност или обратно, истината е онази същност, която е облик.

С това показваме, че по-скоро Хайдегер, отколкото Хусерл, е онзи, който прави съдбоносната крачка, решаваща и за нашия подход и насочваща към отъждествяване на феномен и ейдос, а чрез него, после назад през питагорейството, и Число, последното обаче все още в един забранен, сакрален смисъл, подлежащ на детайлно експлициране в хода на настоящия текст.

Нека сега на този фон изпълним обещаното обръщане към някои възгледи на големия френски философ Ален Бадиу. Следните негови думи биха могли да се поставят като мото и настоящата работа:

Как можем да схванем днес въпроса, поставен от Дедекинд в неговия трактат от 1888 г., Was sind und was sollen die Zahlen? Много добре знаем за какво са числата: те служат, строго казано, за всичко, те осигуряват норма на Всичко. Но все още не знаем какво са те… (Badiou 2008: 1).

Все пак чрез това, за което служат, „да осигуряват норма на Всичко”,  можем да се насочим към една, по-скоро неавтентична тяхна същност – на универсален модел. Понятието за модел е тема на една негова по-ранна работа, чиито тезиси са:

Тезис 1. Съществуват две епистемологични разглеждания на думата „модел”. Едното е дескриптивното понятие на научната дейност; другото е понятието на математическата логика (Badiou 1972: 13).

Така и аналогично в нашия контекст, който всъщност е получен сега с помощта на по-късната работа на Бадиу, ще предположим две употреби за число: от научната дейност и от математиката в тесния и обичаен смисъл, не в онзи, в който Бадиу говори за „онтология = математика” (Badiou 1988: 20) в „Битие и събитие”.

Тезис 2. Когато второто разглеждане служи да подкрепи първото, имаме идеологическо възстановяване на науката, ще рече, философска категория, категорията модел (Badiou 1972: 13-14).

В точно подобие философската категория за число е обичайно да се мисли като едно нормативно или идеално, идеологическо като идео-логическо, възстановяване на науката, да речем като утаен резултат.

Тезис 3. Действителната философската задача е да разплете в употребите на категорията на модел една привеждана в движение [asservi] употреба, която е само вариант и позитивна употреба, вложена в теорията на историята на науката (Badiou 1972: 14).

Всъщност тъкмо ако отстраним наслоенията на обичайните философски категориални, а по същество идео-логически реконструкции чрез числата, може да проличи привежданата в движение в самата наука употреба на ‘число’, която е по-близка не до „модел”, а до „реалност”. Чрез това, и по Бадиу се насочваме към собствено числова  онтология. Така виждаме как френският философ осъществява деструкция в смисъла на Хайдегер на самата онтология в математика: задача, която Хайдегер по същество отлага за никога ненаписаното продължение на „Битие и време” – „Време и битие”. Вместо него по-нататък ще се опитаме да покажем, че времето е числово: едно универсално, тотализиращо всичко в цялост, броене. Така замисълът за деструкция на битието във времето ни отвежда неизбежно към десктрукция на онтологията в математика, разбира се, вече схващана не тясно, не като една „регионална онтология” и произтичащите от нея сфера на професионална дейност и научна дисциплина.

Но нашият подход към Числото би трябвало да отиде и отвъд Бадиу, но с това да се преплете и да преплете Време и Битие и на тази основа също и Битие и Време. Едното е, или „има Едно”, Бадиу цитирайки Лакан, и „еднотоне е” (Badiou 1988: 31). Използвайки формулата на Рикьор за метафората „е/ не е”, бихме могли да кажем, че ‘едното’ е универсалната метафора: на всичко и ето защо това, на което е метафора, не се посочва, ала затова и на нищо. Едното не е и така е множественост, броене, време, но едното също и е като цялост, битие и завърнало се циклично в себе си много пъти, множественост вече като време.

Бадиу започва Първото размишление на своя фундаментален труд с твърдението:

Опитът, в който онтологията, по своята парменидовска тенденция, представлява предверието на един разрушен храм, е следният: това, коетоприсъства, е същностно множествено; това, което присъства, е едно (Badiou 1988: 31).

И така, онтологията винаги е поставена пред едно изначално противоречие или по-скоро предизвикателство: как не просто да събере или да обедини, но да хармонизира множествеността на присъствието с неговата цялостност. Бихме могли да кажем и че множествеността и цялостността са допълнителни, свързани с един вид съотношение за неопределеност, реципрочни,

Реципрочността на едното и на битието е безусловно инагурационната аксиома на философския дискурс, която Лайбниц е изложил превъзходно: «Това, което не е едно битие, не е битие.» (Badiou 1988: 31).

Склонни сме да тълкуваме тази реципрочност в нашия контекст и като цикличност в следния смисъл: увеличаващата се множественост на все по-големи (нека за определеност да бъдат цели числа) достига безкрайността, но тя в своята цялостност е единична и така се завръща в едното.

Нашият интерес към фундаменталната работа на Бадиу е свързан не толкова с „философията”, а с „онтологията и математиката”, т.е. „науката на битието-в-качеството-на-битие“:

Изходната теза на моето начинание, от което потегля това да се определи вплитането на периодизации, извличайки смисъла на всяка, е следното: науката на битието-в-качеството-на-битие съществува от Гърците, понеже такъв е статутът и смисълът на математиката. Но едва днес имаме средствата да знаем това. От тази теза следва, че философията не е центрирана в онтологията – която съществува като отделна и точна дисциплина, − а тяциркулира между тази онтология, модерните теории на субекта и собствената си история (Badiou 1988: 9).

Следователно, нашият подход напълно пренебрегва „събитието“ в смисъла на Бадиу (което, разбира се, няма нищо общо със „събитието” в Колмогоровата аксиоматика в теория на вероятностите). Причината за това е, че интересът ни – донякъде парадоксално казано − не е философски, а онтологичен. Той дори не е и собствено математически по Бадиу, доколкото сме насочени към битието-в-качеството-на-битие, но не и към историчността на дискурса за него. Наистина той пише:

Нашата цел е да се утвърди метаонтологичната теза, че математиката е историчността на дискурса за битието-в-качеството-на-битие. И целта на тази цел е да присъедини философията към мислимата артикулация на два дискурса (и практики), които не са тя: математиката, науката за битието, и намесващите се учения за събитието, което, прецизно, обозначава «това-което-не-е-битие-в-качеството-на-битие»-то.

Това, че тезата: онтология = математика е метаонтологична, изключва, че тя е математическа, това ще рече − онтологична (Badiou 1988: 20).

Отново в термините на Бадиу нашата цел може да се окачестви именно като метаонтологична, т.е. установяване на тъждеството „онтология = математика”. Ала ако онтологията се отнася към тоталността, то тя по необходимост съвпада или съдържа своята метаонтологията, в чиито рамки може вече да се постави въпроса за съвпадението ѝ с математиката. Аналогично това налага метаматематиката да се съдържа или да съвпада с математиката. По такъв начин достигаме до идеята за цикличност под формата на необходимо самоотнасяне, само-референциалност.

Следва да подчертаем и една по-скоро практическа трудност, твърде трудна за преодоляване:

Тезисът за тъждество между математика и онтология е неприемлив, зная, и за философи, и за математици (Badiou 1988: 15).

Все пак обаче сред целите на настоящата работа е да се търсят такива мостове, които да позволят срещата и съвместните изследвания на онтолози (а дори и теолози) и математици.

Нека си послужим с движение на мисълта, който видимо първоначално ще е илюстративно, т.е. от облика, разбран като скриващ, но постепенно ще се оказва, че съвпада в истина-нескритост със скриваната уж идея:

Добре знаете, че на екраните на вашите компютри, на които най-вероятно четете настоящия текст, зад образите са скрити като тяхна същност бързо изменящи се поредици от числа, произвеждани от програми по строго определени правила. Не бива да мислим техниката, макар човешки ръкотворна, извън изначално произвеждане, т.е. про-из-веждане на същността като облик (Heidegger 1976W: 280-281 [Хайдегер 1998: 48-49]). Така нашата пренебрегвана и охулвана техника на изчисляването, заедно с това и по същество е Техника на Виртуалността, която неизбежно владее от онтология, бегло, небрежно и разсеяно промисляна от съвременния човек:

Например за нас е почти невъзможно да мислим себе си и своя свят като образ, облик, ейдос на „екрана“-пространство-време на един самосъздал се вселенски компютър. Същност на този ейдос, или ейдосът като същност не ще бъде нищо повече от прелитащи и изменящи се числа в един търсен, обобщен смисъл: онова число, което не случайно да обозначава или да се приписва на нещото, но да е самото нещо, „самият предмет“ като същност на̀ или „зад“ неговия облик.

Пространството на ейдоса между облика и идеята, т.е. това на истината като adæquatio все пак остава и когато се е свило до изначалната си точка на нескритост като нейни своеобразни или невъзможни две страни, полюси: равни, съвпадащи и въпреки това противоположни. Вместо тях можем да използваме отношението им, което е дуализъм, двуначалност на и от две начала. В квантовата механика това положение на нещата се представя чрез принципа на квантово-механичния дуализъм: всеки квантов обект е двулик Янус: частица и вълна, но двете страни не могат никога да бъдат едновременно дадени, както и двата профила на един човек. Експериментът обаче може да избере произволен ракурс на „полуанфас“, при което обликът би бил свободна комбинация или с термина от квантовата механика, суперпозиция от двата. С присъщото на Шрьодингер чувство на хумор може да се даде превърналия се вече в баналност пример с два „профила“ на котка: „жива“ и „мъртва“ (Schrödinger 1935: 812). Тази алегория обаче добавя сега една нова важна мисъл за нашия подход:

Време-пространството се отнася само до макро, но не и до квантови обекти. Той е един много хитър, стереоскопичен екран на вселенския суперкомпютър на битието-техне, Техника, на който двата профила се прожектират заедно, така че да зададат ефекта на̀ и заедно с това да представят времевата перспектива на обекта като изменението му. Напротив, навлизането на квантово равнище, особено чрез ефектите на сдвояване (entanglement), първо, разрушава илюзията за време-пространство и, второ, разкрива как се изчислява от единия профил другия като своеобразно завъртане „около“ квантовия обект. Всъщност единият е дискретността, зримо въплъщавана като случайност, недетерминираност, бихме могли дори да кажем, като чудеса, а другият е непрекъснатостта, известявана чрез сили, причинността, добре изучена и доскоро единствено при- и познаваният от науката.

Нещо повече, ако си позволим да продължим Айнщайновия патос и поход на живота за всеобща относителност („ковариантност“) от специалната към общата теория по-нататък, но в същата посока, то ние трябва да обхванем след константните, после произволните дифеоморфизми, общо за които е еднозначното и смислено определение на понятието за скорост, също и дискретните морфизми, при които губи смисъл, но заедно с това изисква и може би подсказва свое обобщение. В такъв подход квантова механика и особено информация се оказва сама обобщение на̀ и собственият си синтезсъс теорията на относителността.

Не е случайно, а дълбоко съобразено със същността на квантовата механика привличането от Бор (напр. McEvoy 2001: 197-227) на двете дуални начала от китайската философия – Ян и Ин {7} , както и преди това „или-или“ диалектиката на сънародника му Киркегор {8} . Ако добавим и Хайдегеровата концепция за истината като нескритост и Хусерловата за феномен, както и за ейдетична, а след малко и по-подробно нейната връзка с феноменологичната и трансцендентална редукция, то се очертава едно пространство от философски учения, споделящи някои общи фамилни белези, не непременно всичките заедно наблюдавани като тяхна същност, и споделящи едно, и то при това фундаментално общо следствие: преобразуване на познанието:

Познанието вече не се разполага в пространството на истината като adaequatio между явление и нещо в себе си, облик и идея, означаващо и означаемо, субект и обект и пр., и пр., което да е свободно да обхожда или назовава по избран от него начин, но не и да напусне. В частност това може да е пространството или „епистемата“ между човек и свят, чрез която се конституира „човека“ в същото пространство между думите и нещата, каквито визия и обобщение пък предлага Мишел Фуко (Foucault 1966: 384-385).

Виждаме, пространството на познанието колапсира в точката на нескритост, може би след като при Гърците е експлодирало от нея в гносеологичен „Голям взрив“, с което се завършва един кръг или една витка от спирала. След като се е еманципирало, за да се разгърне, познанието отново се завръща в своя произход на битие и от битие, сливайки се в синкретично битие-познание, в което, като следи от развивалото се преди това в свое пространство познание, остават само неговите полюси и дори само тяхната полюсност, дуализмът им (като усмивката на Чеширския котарак, подходяща шеговита метафора).

Цялото това прецизиране на епистемата, в която възниква квантовата механика и информация, е необходимо, за да могат философски да се осмислят познавателните напрежения, оформящи и борбата на алтернативи, и общата област на понятията за вероятност.

И така чрез нашето обсъждане на Хусерловото понятие за феномен ние са насочихме първоначално към следното: съвпадане и двустранност, образувано чрез колапс на пространството единствено до полюсите на някаква фундаментална опозиция. Всъщност след подобно свиване до точката на феномена се оказва възможно свързването на едноименни полюси на различни опозиции. Принципно нов подход привнася ейдетичната редукция след евентуално пълно или поне частично отъждествяване на ‘eйдос’ и ‘феномен’, получени съответно чрез ейдетична и феноменологична (трансцендентална) редукция. Тогава феноменът може да се мисли като число в обобщен смисъл, напр. като математическа структура, зададена аксиоматично чрез фиксиране (забраняване) на възможностите, предвидени във всяка една от аксиомите. Освен това, ейдосът, обособяван след ейдетична редукция, очертава границите на естествена цялост, което при аксиоматичния подход се представя чрез двойното изискване за пълнота и непротиворечивост.

Например, следвайки интенциите на Гьоделовите теореми за непълнотата (Пенчев 2010), бихме могли да поставим въпроса дали самото множество на естествените числа или произволен обект, кодируем чрез тях, е цялост. Отговорът се оказва висящ според скритата ни установка (постулат). Ако ние гледаме на тях конструктивно, т.е. като на процес, те не са цялост. Но ако се обсъждат като актуална безкрайност, са, разбира се, цялост. Нещо повече, аксиомата за избора гарантира преобразуване на второто в първото за безкрайно множество от произволна мощност, стига тя да е приета валидна до тази мощност включително.

Но към подхода за фиксиране естествена цялост, както интерпретирахме „ейдетичната редукция“, ще добавим една дълбока философска идея, чийто произход обаче е от статистическата физика. Става дума за поразителния факт, че в редица случаи, почти всички, в които и двете са приложими, гибсовската и болцмановската статистика на ансамбъл дават практически или дори теоретично тъждествени резултати. Учудването идва от това, че Гибсовият подход гледа на ансамбъла като на цяло, което може да се намира в различни в свои състояния и изследва статистиката той да се окаже в едно от тях, докато този на Болцман обсъжда ансамбъла като съставен от (адитивни, сумируеми) части и проучва статистиката на величините, характерни за всяка една част. С други думи, статистиката по Гибс в крайна сметка дава вероятностно разпределение по състояния на цялото, докато по Болцман – по неговите части.

Ако подтиквани от емпиричното съвпадение, вече сме отъждествили двете вероятностни разпределения, вече сме близо до хипотезата – не само с фундаментален физически, но и с философски характер, – че съществува едно-еднозначно съответствие между част и състояние на цяло при определени гранични условия,  които ще припишем на ‘феномена’, съвпадащ с ‘ейдоса’.

Постулиране на такава хипотеза е от особена важност за цялости от типа на тоталности, обсъждани по-скоро от философията, отколкото от частните науки. Идеите за безкрайност, особено математическата − за актуална безкрайност, и за тоталност са тясно свързани:

Идеята за безкрайността предполага отделянето на Същото по отношение на Другото. Но това отделяне не може да се покои на противопоставяне на Другото, както ако беше чисто антитетично. Тезата и антитезата, отблъсквайки се, се зоват. Те  в своето противостоене се разкриват в синоптичен поглед, който ги обхваща. Те вече образуват тоталност, която прави относителна, включвайки я, метафизическата трансценденция, изразена чрез идеята за безкрайността (Lévinas 1988: 45).

За физиката такава тоталност е вселената. Те по определение не допускат своя външност и нямаме непосредствен достъп до техните състояния. Но дори и останали принудително вътре, постулатът ни позволява да изследваме тоталността и различните и състояния все едно отвън, в смисъла на „еквивалентно на отвън“.

Друг пример е затворената физическа система, която се намира в едно константно състояние, независимо от промените, осъществяващи се вътре в нея. Според нашата хипотеза, това състояние ще съответства на точно определена своя част, която следователно е привилегирована, както и отправна система свързана с нея. Всъщност и общата теория на относителността, за разлика от специалната, достига до възможността за подобен извод, експериментално проверим, ако се свърже с фоновото излъчване (Rabounski 2006).

Плодотворно е въпросът за абсолютната отправна система в общата теория  на относителността да се обсъди в контекста на т. нар. принцип на Мах (Barbour, Pfister [еds.] 1995: 507-508). Както отбелязва един от участниците (Goener) в току-що цитираната дискусия общата теория на относителността винаги е въвеждала неявно абсолютна отправна система, напр. и интуитивно най-естествено чрез центъра на масата (тежестта, гравитацията) на обсъжданата система. Местоположението на нейното начало и ускорението ѝ са променливи. От друга страна, квантовата механика и по-точно съотношението за неопределеност допуска понятието изобщо за отправна система само като макроприближение, тъй като отправна система се дефинира чрез двойката положение, скорост. Например фоновото излъчване и изобщо „светлинната отправна система“ има скорост, но не и положение на началото, то е „изотропно“. Въпреки това бихме могли да предположим едно хипотетично нейно начало, проекцията на точката на „Големия взрив“ във всеки даден момент от време. Съществува и термодинамичен подход: началото да се свърже с минималната, може би дори нулева ентропия, която с течение на времето се увеличава: ако системата е затворена, тя се охлажда.

Всъщност от принципа на Мах, както е формулиран от Айнщайн (Einstein 1918: 241) в основите на общата теория на относителността {9} , следва, че абсолютната отправна система е само една: център на масата (тежестта, гравитацията), но не и като настояща проекция на местоположение на „Големия взрив“, тъй като такъв в стационарна вселена не се предполага. Гамов отбелязва в своята автобиография, че „първоначалното уравнение на Айнщайн е правилно и неговата промяна е грешка. Много по-късно, когато аз обсъждах космологични проблеми с Айнщайн, той отбеляза, че въвеждането на космологичния член е най-грубата грешка, която е направил през целия живот“ (Gamow 1970: 44). Историята на „най-грубата му грешка“ е широко коментирана (напр. тук).

Макар че космологията на XX век коригира тази „най-груба грешка“, то тя първоначално запази непокътнат един по-общ принцип на съвпадение на центъра на масата (тежестта, гравитацията) с настоящото местоположението на „Големия взрив“. По този начин Айнщановият „принцип на Мах“ всъщност е съхранен за всеки момент от времето след„Големия взрив“, нарушен е само точно в него.

От друга страна, нарушаването на принципа на Мах допуска различни варианти:

1. Има маса във вселената, която не виждаме, но тя е съвсем обичайна (всъщност тази хипотеза запазва напълно принципа на Мах).

2. Масата (енергията) е пространствено неадитивна и тъкмо тази неадитивност и източник на допълнителна гравитация.

3. Има друг източник на гравитация, различен от маса (енергия), но той е пространствено адитивен като масата (енергията) и те могат да му се припишат еквивалентно.

4. Различни комбинации от втората и третата възможност, напр.: масата  (енергията) са неадитивни, но тя може да се представи като допълнителен адитивен източник на гравитация, преобразуващ се в маса и енергия по определени закони.

Изброените варианти донякъде съответстват на „тъмната маса“ (напр. Sahni 2004; Mattarese, Colpi, Gorini, Moschella (eds.) 2011: 241-328), „тъмната енергия“ (напр. Sahni 2004; Mattarese, Colpi, Gorini, Moschella (eds.) 2011: 331-402) и „тъмния флуид“ (Arbey 2006). „Тъмният поток“ (Kashlinsky, Atrio-Barandela, Kocevski, Ebeling 2008) обаче предполага взаимодействие външно за целостта, все пак и за него е възможно да се потърси холистично обяснение в духа на идеите на настоящия текст.

Може да се приеме експериментално потвърдено съществуването на „тъмна материя“ (напр. Sahni 2004: 2-3 ; Mattarese, Colpi, Gorini, Moschella (eds.) 2011: 295-328) и тъмната енергия (напр. Sahni 2004: 11-12). Що се отнася до това, как тя да се съпостави с принципа на Мах, откриването на ускорението на разширяването на вселената (напр. Uzan 2006; Sahni 2004 ) изглежда изключва адитивните алтернативи – 1 и 3 (с уговорката, че 3 може да се усъвършенства по начин да е съвместима с експерименталните данни, напр. този допълнителен източник на гравитация да не се подчинява на закон за запазване, поради което гравитация или антигравитация да може да възниква „от нищото“).

Все пак неадитивните и поради това холистични алтернативи – впрочем в пълно съзвучие с патоса на настоящата работа – изглеждат имат решителни предимства, възможно свързани с явленията изучавани от квантовата информация (напр. Lee, Lee, Kim 2007), при търсене на обобщения след отхвърляне на принципа на Мах не само при „Големия взрив“, но и за всеки (или поне достатъчно много) следващи моменти.

Нека съотнесем сега нашата холистична хипотеза, вкл. и под формата за привилегирована отправна система, с ‘ейдетичната редукция’. Тогава в цялото ще съществува една необикновена негова част: то самото, чието откриване, посочване или конституиране и е целта на ейдетичната редукция. Първо, в какъв смисъл тази част е необикновена? Към това бихме могли да се насочим чрез две следи от противоположни посоки в европейската философия: Dasein на Хайдегер и самореференциалносттакато проблем в теорията на множествата и (само)-обосноваването на математиката. По първата ще мислим необикновеността като тоталност, битие, Sein, което заедно с това е тук и сега, Da, като факт. Нашата хипотеза по-горе всъщност го постулираше в качеството на особена отправна система, чиято привилегированост произтичаше от уникалността на целостта, на тоталността. За скритото от нас движение на тоталността можем да съдим по вътрешно движение, което би обхождало в общия случай частите, възвеждайки я в ранга на Dasein.

В рамките на нашия подновен след двадесет и пет века питагорейски поход е важна и Ръселовата идея за математическа философия, отчетливо разграничена от философия на математиката, която разглежда последната само като (един от многото равнопоставени) клонове на познанието, а не като онтология:

Математиката е учение, което – ако се започне от неговите най-привични части, може да се следва в две противоположни посоки. По-привичната посока е конструктивна, към постепенно нарастваща сложност: от естествените числа към дробите, реалните числа, комплексните числа; от събиране и умножение към  диференциране и интегриране и нататък към висшата математика. Другата посока, която е по-малко привична, продължава чрез анализиране към все по-голяма и по-голяма абстрактност и логическа простота; вместо питане какво може да се дефинира и изведе от това, с което се почва, питаме вместо това, какви по-общи идеи и принципи могат да се открият, в термините на които това, което беше изходната ни точка, може да се дефинира или изведе. Именно факта на следване на тази противоположна посока характеризира математическата философия на обичайната математика(Russell 1993: 1).

Струва си да се подчертае, че макар да разграничава категорично “математическата философия” от ‘философия на математиката’, Ръселовата „обратна посока“ всъщност е връщане от аксиомите назад чрез техен анализ към още по-фундаментални аксиоми, от които да могат да се изведат непротиворечиво. Собствено обратна посока обаче би било, ако се тръгне от наистина пределни аксиоми да се извеждат като теореми и по-сложните (нормалната посока на математиката по Ръсел), но и – особено – по-простите. С това обаче линейността {10} ще се окаже заменена или допълнена с цикличност (Yetter 1990), която напълно равноправно може да се формализира и като дълбочина (di Gianantonio). В един малко по-общ, но философски смисъл ще тълкуваме „дълбочината“ като равноправност на всяка точка от логическия цикъл да бъде разгледана като пределна аксиоматика, от която да е възможно да се потегли и в двете посоки.

Всъщност така заставаме на една обобщаваща позиция, която може да погледне заедно към обичайните логически системи с линейна йерархична структура, изведена чрез математическото понятие за решетка, и херменевтичния кръг, разбира се не тривиализиран до „логически порочен кръг“ (Heidegger 1977: 202-204), а фундаментализиран в духа на философската херменевтика на Хайдегер (Heidegger 1977: 127-136 [§ 21], 411-419 [§ 63], 210-211 и сл., 10-11) и Гадамер (Gadamer 1979; Gadamer 1960).

Забраненото от Ръселовата теория на типовете  разглеждане на множества, съдържащи себе си като елемент, или в логическа трактовка, непредикативните (т.е. самопредикативните) определения (Russell 1908: 236-237), също разкрива необикновеността на подобна част, посочвайки я като възможен източник за кризата в обосноваването на математиката{11} . Всъщност всички „лечения“, вкл. и горепосоченото изключват тоталността по един или друг начин, под една или друга форма от математиката, след което вече не се наблюдават противоречия, макар и последното да не може да се докаже окончателно.

Противоречията обаче на основата на същите разсъждения биха могли да бъдат изключени по противоположен начин, а именно като самата математика се обяви за тоталност, или тоталността, след което други тоталности или поне от същия изначален ранг вече не може да има. Разбира се, това е питагорейство, но в една обобщена съвременна форма, в която мястото на Числото е разширено до математическата структура. Доколкото от нашата хипотеза следва в частност постулиране на самореференциалност по отношение на множества, то става очевидно, че тя е най-малкото съзвучна, ако не еквивалентна на новото питагорейство.

В тази връзка е редно да се спомене „Шестият проблем на Хилберт“, поставен от великия немски учен на рубежа между XIX и XX с още 22 фундаментални математически загадки (и още една отпаднала в окончателния текст: Thiele 2003). Той гласи:

6. Математическо третиране на аксиомите на физиката.

Чрез изследването върху основите на геометрията ни се препоръчва задачата: по този образец да се третират аксиоматично онези физически дисциплини, в които днес вече математиката играе изключителна [hervorragende] роля; това са на първа линия теорията на вероятностите и механиката (Hilbert 1900: 15).

Общоприето е да се смята, че наред с още един или два проблема, този е формулиран неопределено до степен, която не позволява да се прецени кое трябва да се смята за решение на проблема. Все пак задачата може да се стесни като се подчертае явното позоваване на „изследване върху основите на геометрията“.

Геометрията всъщност е първата дисциплина, която е аксиоматизирана още от Евклид, макар и с редица несъвършенства, окончателно преодолени от самия Хилберт (Hilbert 1903: Цитирано е второто издание, а първото издание е от 1899 г. и предхожда доклада за математическите проблеми, изнесен в Париж през 1900 г.). Тя възниква като физическа опитна дисциплина и несъмнено е още такава по времето на Евклид, когато бива аксиоматизирана. За древните Гърци съвременното разделяне на модели и реалности е чуждо и особено несъответно е, че „математиката изучава и създава модели, но няма отношение към реалността“. Напротив учението на Питагор ясно се насочва към математическа същност на света.

Макар и по-късни от поставянето на проблема от Хилберт, успехите и подходите на Айнщайн за геометризиране на физиката са съзвучни с онтологично разбиране на математиката.

В наше време има множество геометрии, множество логики, всяка една от които прохожда от осмисляне на Евклидовото аксиоматизиране и опитите през XIX век по създаване на неевклидови геометрии. Аналогично разнообразие от аксиоматизирани физики не е възникнало поне до настоящия момент. Например, несъмнено теорията на относителността е една „ненютоновска физика“, но тя не възниква чрез замяна на една или няколко аксиоми от аксиоматика на Нютоновата физика, а под натиска на експерименти, особено този на Майкелсън − Морли (Michelson 1881; Michelson, Morley 1987), показал че скоростта на светлината (във вакуум) не може да се надвиши. С други думи, тя не възниква като една физика в смисъла на проблема на Хилберт, аналогично на появата на нова геометрия или логика. Това остава в сила дори и за редица съвременни, и то най-успешните физически теории, независимо от изключително абстрактния математически апарат, който използват. В този смисъл шестият проблем, макар и поставен прекалено широко, все пак не е решен.

От друга страна, той изрично посочва теорията на вероятностите и механиката, под която естествено следва да се разбира класическата, доколкото по време на поставяне на проблема квантовата още не е възникнала. Тези две дисциплини съществено се различават и до наши дни по степента на разработване на общоприети и прецизни аксиоматики. Докато за теорията на вероятностите могат да се посочат работите на Колмогоров (Kolmogorov 1933) или Кокс (Cox 1946; 1961), то в областта на механиката работите са спорадични (напр. McKincey, Sugar, Suppes 1953), а успехът повече от съмнителен. Дори от тази твърде тясна гледна точка проблемът може да се сметне само за частично решен, по отношение на теория на вероятностите, и то остава съмнение дали е дадено доказателство за нейната пълнота и непротиворечивост поне относително, чрез модел в Пеановата аритметика.

Сега ще предложим още един, необичаен начин за тълкуване какво може или следва да се разбира под негово решение. Нека предварително отбележим, че „теорията на вероятностите“ и „механиката“, т.е. дисциплините, посочени от Хилберт на „първа линия“, се оказват вплетени една в друга в квантовата механика, която все още не съществува по времето на доклада му. Основният ѝ математически формализъм не само е геометричен, но и носи името на Хилберт – хилбертово пространство.

Под решение на „шестия проблем“ ще разбираме такава физическа теория, в чиито математически формализъм, естествено формулиран аксиоматично, се съдържа доказателство за съвпадението на теорията с реалността. Самата възможност за подобна „абсолютна“ теория изглежда стряскаща. Причината е, че всички досегашни теории не само се разминават повече или по-малко с експерименталните данни, но и рано или късно биват „опровергавани“ от по-съвършени теории, почти винаги с усложнен формализъм, спрямо който този на изходната се явява частен случай. Очевидно такава теория не само ще съвпада с експерименталните данни, но и няма нужда да бъда усъвършенствана и заменяна, освен може би с по-проста, по силата на „бръснача на Окам“. Нейната аксиоматика би се завърнала към неизкушения завет на Гърците да се аксиоматизира реалността, както по-скоро би следвало да се пренесе в съвременни философски термини несъмнено достатъчно сполучливо реализирания замисъл на Евклид по отношение на геометрията.

Нещо повече, можем да предложим хипотезата, че такава теория вече около столетие е известна, макар и да е нарушавала по много причини съня на не един физик и философ. Това, разбира се, е квантовата механика, а доказателството на фон Нойман (Neumann 1932: 167-173) за отсъствие на скрити параметри в нея е тъкмо необходимото вътрешно доказателство за съвпадение на модел и реалност. Впоследствие критичното обсъждане на Грете Херман (Hermann 1935) и Джон Бел (Bell 1966) и особено извеждането на неговите неравенства (Bell 1964) и експерименталното доказване за тяхното нарушаване само разширяват доказателството на фон Нойман и за неизолирана квантова система.

Не бихме могли да бъдем уверени, че така не преиначаваме постановката на проблема от Хилберт, понеже той има друго предвид. Достатъчно е да се обърнем към „втория проблем“ от същия доклад, за да видим, че интенцията за пълни математически теории, които да съдържат вътрешно, собствено математическо доказателство за собствената пълнота и непротиворечивост, не само не е му е чужда, но я смята определяща за развитието на математиката. Той е озаглавен така:

2. Непротиворечивостта на аритметичните аксиоми.

Съдържанието му се разгръща постепенно на няколко стъпки по следния начин:

… дали някак известни твърдения на отделни аксиоми се обуславят помежду си и дали аксиомите следователно не съдържат известни общи съставни части, които трябва да се отстранят, ако се иска да се достигне до система аксиоми, която да бъде изцяло независима помежду си (Hilbert 1900: 9).

Сред множеството въпроси, които могат да се поставят по отношение на аксиомите, Хилберт обозначава като най-важен следния:

… да се докаже, че тези същите са непротиворечиви помежду си, т.е. че никога няма да се достигне до резултати, които се намират в противоречие помежду си, на основа на същите посредством краен брой логически заключения (Hilbert 1900: 10).

По-нататък Хилберт се обръща за пример към геометрията и как нейната непротиворечивост следва от тази на аритметиката:

В геометрията се постига доказателството за непротиворечивост на аксиомите чрез това, че се построява подходяща област от числа по такъв начин, че на геометрични аксиоми съответстват аналогични отношения между числата от тази област и че според това всяко противоречие в следствията от геометричните аксиоми трябва да е разпознаваемо също така и в аритметиката на онази числова област. По този начин също и желаното доказателство за непротиворечивостта на геометричните аксиоми се свежда до твърдението за непротиворечивостта на аритметичните аксиоми (Hilbert 1900: 10).

Възприето е да се смята, че аритметиката е пределната област на математиката, в която тя трябва да намери своето основание, тъй като е най-простата. Дали обаче това не е предразсъдък и привидност? И дори и да е възможно на всяка математическа теория да се построи аритметичен модел, следва ли от това, че именно за аритметиката може и следва да се намери пряко доказателство за непротиворечивост? Най-сетне, ако за аритметиката не може да се намери такова доказателство или се докаже, че не съществува, следва ли от това, че такова не съществува за никоя математическа област? Позицията на Хилберт, както и на множество бележити математици от XIX и XX век е склонна да разглежда като първооснова аритметиката:

За доказателство за непротиворечивост на аритметичните аксиоми има нужда, напротив, от пряк път (Hilbert 1900: 10).

Методът на аритметизацията е основен също и във фундаменталната работа на Хилберт, в съавторство с Бернайс, по обосноваване на математиката (Hilbert, Bernays 1968). За недоверчивия читател ще приведем няколко пасажа в подкрепа на тезата, че в принципно отношение не е добавено нищо ново, а самата аритметизация продължава все така да бъде необоснована строго математически. Остава висящ въпросът: защо именно аритметиката, а не върху коя да е друга, произволно избрана област да се положи фундаментът на математиката.

Това, което в досегашното боравене засяга този проблем, се случва както при геометрията, така и при физическите дисциплини чрез метода на аритметизацията. Предметите на теорията се представят чрез числа или системи от числа и основните отношения – чрез уравнения или неравенства, така че на основата на това превеждане аксиомите на теорията преминават или в аритметични тъждества, или съотв. в доказуеми твърдения, както е случаят при геометрията, или пък, както при физиката, в система условия, чиято съвместна изпълнимост остава да се покаже на основа на твърдения за аритметично съществуване. При този метод аритметиката, т.е. теорията на реалните числа (анализът), се предпоставя валидна и така идваме до въпроса, какъв вид е тази валидност (Hilbert, Bernays 1968: 3).

В този цитат буди учудване какъв смисъл е вложил точно Хилберт в своеобразното приравняване на аритметиката и анализа в контекста на обосноваването. Всъщност, поне в обичайното изложение, теорията на реалните числа привлича актуалната безкрайност посредством теорията на множествата. Разбира се, изобщо възможно е конструктивистко или интуиционистко изложение на анализа, но немският математик не показва привързаност към тези подходи. По-вероятно в случая се уповава на своята надежда да открие финитно аритметично обосноваване на актуалната безкрайност, чието изпълнение се приема за дадено и в частност позволява връзката чрез „т.е.“. Както по-подробно ще видим след малко, тази надежда е по-твърде необикновен начин едновременно и оправдана, и илюзорна, и безпочвена.

С това достигаме до следните задачи: 1. принципите за логическо заключение да се формализират строго и чрез това да станат напълно обозрима система от правила; 2.  за една предложена система аксиоми 𝔄 (която трябва да се докаже като непротиворечива) да се проведе доказателство, че при извеждането от тази система 𝔄 не може да се получи никакво противоречие посредством логически дедукции; т.е. че никои две формули не стават доказуеми, от които едната е отрицанието на другата (Hilbert, Bernays 1968: 18).

Веднага след това Хилберт конкретизира задачите по следния начин: да се установи една изходна аксиоматизирана математическа система, за която да се положи или да се докаже, че е непротиворечива; в нея да могат да се строят модели на изследваните аксиоматизирани геометрии или физики; от непротиворечивостта на модела в универсалната базисна аксиоматика да може да се заключава непротиворечивост на моделираната теория:

Обаче сега не трябва да извеждаме това доказателство за всяка система аксиоми поотделно, а можем да възползваме метода на аритметизацията, вече споменат в началото на нашето изложение.  Това може да се характеризира от сегашната гледна точка така. Търсим си система аксиоми 𝔄, която, от една страна, има толкова ясна структура, че можем да изведем доказателство за нейната непротиворечивост (в смисъла на горната Задача 2), която обаче, от друга страна, е толкова съдържателна, че ние от едно в качеството на предварително предпоставено изпълнение на тази система аксиоми чрез система 𝔖 от неща и отношения можем да изведем изпълнения за системи аксиоми 𝔅 от геометричните или физическите дисциплини по начин, че представяме предметите на една такава система аксиоми 𝔅 чрез индивиди от 𝔖 или комплекси от такива индивиди и за основните отношения полагаме такива предикати, които могат да се построят чрез логически операции от основните отношения на 𝔖.

С това е тогава доказано, че въпросната система аксиоми 𝔅 е действително непротиворечива; тъй като всяко противоречие, което се получава като следствие от тази системата аксиоми, би се представяло винаги като изводимо системата аксиоми 𝔄 противоречие, докато все пак системата аксиоми 𝔄 е известна като непротиворечива (Hilbert, Bernays 1968: 18-19).

И тук – без каквато и да било обосновка, освен, имплицитно, че е работещ метод – се появява аритметизацията:

Като такава система аксиоми 𝔄 (аксиоматично построена) се представя аритметиката (Hilbert, Bernays 1968: 19).

Всъщност единствената разлика от неговия подход е да поставим на мястото на аритметиката – геометрията на хилбертовите пространства и съответно, на мястото на аритметизацията – геометризация или геометризиран вариант на аритметиката, под което ще разбираме добавяне на подходяща „аритметична“ аксиома за актуална безкрайност, т.е. все едно „безкрайни числа“, едно или повече. С това би възникнал обаче въпросът, по какво се отличава от теорията на множествата, няма ли да е изоморфна с нея и най-вече, как ще се опазва от парадоксите, които последната носи, покрай безспорната полза от нея. В хода на цялата работа се опитваме да скицираме контурите на един оптимистичен отговор.

Този „метод на свеждане“ на аксиоматичните теории до аритметични не изисква аритметиката да се строи от нагледно предявими факти, напротив, аритметиката няма нужда заради това да бъде нищо друго освен образувание от идеи, което да може да се покаже като непротиворечиво и което доставя систематична рамка, в която системите аксиоми на теоретичните науки могат да се подредят, така че те, в техните осъществени идеализации на фактически даденото, се доказват също като непротиворечиви чрез това подреждане (Hilbert, Bernays 1968: 19).

Накрая все пак можем да приведем цитат, който, от една страна, да хвърли индиректно светлина защо именно аритметиката следва да се положи като основа на математиката, а от друга, да изясни в съдържателно отношение непосилността тъкмо аритметиката, поне ограничена по възгледите на Хилберт, да изпълни тази роля:

Проблемът за изпълнимостта на една система аксиоми (или съотв. на една логическа формула, която в случая на крайна област индивиди може да се реши положително чрез изброяване, в случая, когато за изпълнението на аксиомите следва да се вземе под внимание само безкрайна област от индивиди, не е решим по този метод, понеже съществуването на безкрайна област от индивиди не може да се сметне като даденост, напротив, въвеждането на такава безкрайна област се оправдава едва чрез едно доказателство за непротиворечивост за система аксиоми, характеризираща безкрайността (Hilbert, Bernays 1968: 19).

Виждаме, че аритметиката е избрана, за да бъде обоснована безкрайността чрез крайността и по-точно, чрез финитни аритметични средства, тъй като в останалите области на математиката актуалната безкрайност изглежда неизбежно и безнадеждно въвлечена под една или друга форма. Тъкмо като опровержение на това намерение следва да се тълкуват резултатите на Гьодел. Но ние показахме или най-малкото изказахме хипотезата, че чрез финитни аритметични средства не може да се докаже и обратното, а именно че безкрайността не може да бъде обоснована чрез крайността (Пенчев 2010: 113).

Причината за това влечение на Хилберт към аритметизацията следователно е стремежът да се положи под безкрайността – бидейки, в рамката на шегата, доказан „развъдник на парадокси“ – по-надеждна опора от нея самата, каквато на Хилберт и на плеяда бележити математици се е сторила крайната аритметика.

Още сега можем да предположим друг път: да се покаже, че безкрайността може да се обсъжда като производна от цялостността, а последната да се постулира като непротиворечива, тъй като целостта е единична, унарна, докато противоречието изисква поне два члена, то е отношение, бинарно. С други думи, безкрайността, доколкото и ако е произлязла от цялостността, е изначално невинна, тъй като противоречие по отношение на нея е недефинируемо. Този път ще наречем квантизация на математиката:

Според вече казаното и патоса на настоящата публикация вече е ясно, че можем да сметнем формализма на квантовата механика, а именно теорията на хилбертовите пространства, която е безкрайно-мерното обобщение на геометрията, за фундаменталната област на математиката, в която математиката може да се самообоснове. Тъй като аритметични модели на математическите области и на логиката са изведени, достатъчно е да се построи модел на аритметиката в хилбертовото пространство, след което да се покаже също така, че теоремата на фон Нойман и нейните обобщения за неизолирани системи може да се разглежда като доказателство за собствената непротиворечивост на теорията на хилбертовото пространство. Всъщност хилбертовото пространство е по-богата и по-сложна област, но може би то е сред минималните математически конфигурации, които съдържат собственото си обосноваване. Господствалото дълги години предубеждение, че самообосноваването на математиката трябва да се търси в най-простата област (независимо дали това е или не е аритметиката) е вероятно не повече от подвеждащо и всъщност пречи да се реши проблемът.

Все пак независимо от това, в коя област се намира самообосноваването на математиката, следва да се постави въпросът за математическото съществуване, на което специално внимание обръща и Хилберт в своя доклад:

За да характеризираме значението на проблема и от друга гледна точка, бих могъл да добавя следните забележки. Ако на едно понятие се дадат белези, които си противоречат, то ще кажа: понятието математически не съществува. Така не съществува напр. реално число, чийто квадрат е −1. Ако все пак успеем да докажем, че белезите, дадени за понятието, никога не могат да доведат до противоречие чрез приложение на краен брой логически процеси, твърдя, че с това е било доказано математическото съществуване на понятието, напр. за число или функция, което изпълнява известни изисквания (Hilbert 1900: 10).

Една от интенциите на всяко съвременно питагорейство би трябвало да бъде обсъждането и обвързването на математическото съществуване със съществуването изобщо. Разграничителната линия между тези два типа съществуване, ако изобщо има смисъл да се обозначава, изглежда трябва да минава между категориите ‘пълнота’ и ‘непротиворечивост’. Изглежда на пръв поглед достоверно да се приеме, че “съществуването изобщо” е пълно и противоречиво, докато математическото съществуване е непълно и непротиворечиво.

Към такива изводи навежда диалектиката на Хегел, както и цяло разнообразие от философски школи в бившите социалистически страни, водещи произхода си от неохегелианската концепция на марксизма, утвърждаван като държавна доктрина. От страна на математиката такава позиция получи най-неочаквана подкрепа от теоремите на Гьодел, известни като теорема за пълнотата (Gödel 1930) и първа и втора теорема за непълнотата (Gödel 1931).

Очевидно е, че питагорейството следва да намери начин да заобиколи или премахне така очертаната демаркационна линия между съществуването в математиката и във философията, съответно между математическо и онтологическо понятие за съществуване.

Тъкмо и като поставянето на такъв проблем бива тълкуван „вторият проблем на Хилберт“, но съществува колебание и неяснота по отношение на това дали може да се смята за решен. Причината за това е че Гьодел дава отрицателен отговор, вече цитиран, докато Генцен − за съжаление обременен с дискредитиране за съучастие, съпричастност или конформизъм с нацизма  (Segal 2003: 469-471), което, разбира се, не би трябвало да играе роля в една собствено научна дискусия −  дава положителен отговор, включвайки трансфинитна индукция поне до всеки ординал, по-малък от един особен, обозначаван като ε₀ (Gentzen 1969: 187). Специално бих искал да подчертая, че той тълкува трансфинитната индукция, парадоксално за използвания термин, финитно (Gentzen 1969: 187), т.е. изводите, основани на нейна база, се извършват за краен брой стъпки и следователно попада в условията, поставени от Хилберт.

Следва да се обърне внимание, че така наречената основна теорема (Gentzen 1935: 195) на изобретеното от Генцен изчисление на секвенциите (логика на извода) и финитността на трансфинитната индукция в съдържателно отношение са противоположни на основата на правилото за отстраняване на междинния извод (на английски, cut rule). Финитността предполага безкрайното прилагане на това правило, докато основаната теорема гарантира, че те винаги могат да бъдат обратно възстановени.

Обръщал съм внимание (Пенчев 2009: 284-285) на възможността за интерпретиране на прилагането (актуално) безкраен брой пъти на правилото за отстраняване на междинния извод като редукцията на вълновия пакет във фон Ноймановата теория на измерването в квантовата механика (Neumann 1932: 222-237; Пенчев 2009: 444). В такава перспектива е много интересно тълкуването на Генценовата основна теорема: тя би гарантирала еднозначно възстановяване на вълновия пакет по резултати от измерването, ако измерваната квантова система е дадена.

Мартин-Льоф показва (Martin-Löf 1971), че основната теорема на Генцен може да се пренесе още по-широко в интуиционистката теория.

Сега ще се опитаме да погледнем на финитността на трансфинитната индукция, респ. на основната теорема на Генцен в две разноречиви тълкувания, за които ще положим необходимите усилия да ги съгласуваме. Това ще бъдат: топологически и теоретико-множествен подход, от една страна, и обсъждане на аксиомата за тъждествеността във връзка с правилото за отстраняването, особено при циклично разглеждане, от друга.

Макар че използвахме евфемизма „циклично разглеждане“ току-що, на проницателния читател е станало ясно, че зад него се крие сякаш напълно неприемливия логически „порочен кръг“. Ще обърнем внимание, че философската херменевтика на Хайдегер не само не открива нищо порочно в него при изследване на битието (тоталността) под формата вече на „херменевтичен кръг“, но го въздига дори до основен метод (Heidegger 1977: 202-204). Това е особено очевидно у неговия следовник Гадамер (Gadamer 1960).

Ала ето какво пише самият Генцен в уводната мотивировка на своята основна теорема:

Основната теорема твърди, че всяко чисто логическо доказателство може да се доведе до определена, впрочем по никакъв начин не еднозначна, нормална форма. Същностните свойства на такова нормално доказателство можем донякъде да изразим като кажем: то не прави обиколки [Umwege]. В него не се въвежда никое понятие, което не се съдържа в крайния му резултат и следователно трябва да се употребят необходимо за неговото получаване(Gentzen 1935: 177).

Следователно, замисълът на Генцен е да покаже, че всяко доказателство може да се представи като монотонна, но не еднозначно определена редица от следствия, която води – фигуративно казано „по права линия“ – от изходните предпоставки до твърдението, което се доказва. Очевидно, това е интуитивната представа за доказателство и тук, т.е. чрез неговото изчисление на секвенции, самата тя бива формализирана и доказана. Тъкмо това обаче и позволява да се направят двете съществени крачки, споменати по-горе: да се обсъди, първо, доказателство с безкрайна (по Генцен, конструктивна) монотонна редица от импликации и, второ, логическия статус на „порочния кръг“, по който се достига до изходното твърдение не непосредствено, не по силата на тривиалната тавтология, постулирана в аксиомата за тъждествеността, а от „другата страна“ на кръга, която обхожда всички възможни твърдения, но все пак връща в изходното по начина, по който може последователно да се обиколи големия кръг на едно кълбо все по права (поради кривината – геодезична) линия от точка до същата точка, но „от другата страна“. В този случай до изходното твърдение би се достигало, чрез обхождане на всички твърдения, при което е положено – няма друго начин освен с аксиома, − че те образуваттоталност. Тяхната съвкупност е затворена. Макар да съществува линейна наредба, най-големият елемент съвпада с най-малкия и естествено този елемент да съвпада с местоположението на наблюдателя, началото на отправната система. Под „циклизиране“ ще разбираме именно такова полагане.

От двете изредени задачи, първата очевидно принадлежи към сърцевината на мотивацията на Генцен. Нейно естествено продължение по-нататък ще бъде обратния ход на мисълта – концепцията за финитност на трансфинитната индукция. В рамките на сега цитираната негова публикация, това личи от разграничаването на интуиционисткия и класическия случай, които могат да се различат само по отношение на безкрайна редица от следствия:

Основната теорема е валидна както за класическата предикатна, така и за интуиционистката предикатна логика (Gentzen 1935: 177). Той развива своето изчисление на секвенциите тъкмо за да я докаже в класическия случай:

То [естественото смятане] вече показва свойствата, съществени за валидността на основната теорема, обаче само в нейната интуиционистка форма, докато законът за изключеното трето, както вече отбелязахме, заема специално положение предвид на тези свойства (Gentzen 1935: 177).

Самата основна теорема гласи:

Всяко LJ-, съотв. LK извеждане може да се преобразува в LJ- , съотв. LK-извеждане със същия краен извод и в което не се среща фигурата на извеждане, наричана „отстраняване“ [Schnitt, изрязване на междинния извод] (Gentzen 1935: 195).

Означенията са съответно: „„LJ“ за интуиционистката, „LK“ за класическата предикатна логика)“ (Gentzen 1935: 177).

Вече може да пристъпим втората задача, която само косвено бихме могли да присъединим към намеренията на Генцен, а именно на пръв поглед във висша степен парадоксалното „логически строго обосноваване на порочния кръг“. За да избегнем тази очевидно конфликтна и по същество неточна, макар и пределно релефна формулировка, можем вместо това да говорим „логически строго обосноваване на херменевтичния кръг.

Разграничението между логическия порочен кръг и херменевтичния кръг може да се търси по две сродни, но не тъждествени линии. Херменeвтичният кръг за разлика от порочния логически се отнася до (1) тоталността или (2) безкрайността. Дистинкцията между тях поставя въпросите за (A) крайната тоталност и съответно за (B) нетоталната, отворената безкрайност. Учението на Кантор очевидно почива на втората възможност.

Как би могъл да се обоснове херменевтичният кръг върху идеите на Генцен: и то дори без добавена по непротиворечив начин  ‘актуална безкрайност’, донякъде неуместна, понеже той да твори под знамето на конструктивизма и дори на финитизма?

Първо, тъй като става дума за изходното твърдение, то тривиално не съдържа други термини освен необходимите за доказателството на крайния резултат, в случая – на самото него.

Второ, тъй като Генцен обосновава своята теорема специално заради класическия случай, то на нас ни е позволено да използваме правилото за изключеното трето за безкраен извод, по-точно ще използваме метода на доказателство от противното.

Трето, доводът ни би бил следният. Да допуснем, че нашата хипотеза не е вярна. Тогава трябва да има безкраен логически извод води до едно последно твърдение, което може да се изведе от нашето твърдение, но от което самото то не може да се изведе на свой ред. С това обаче въвеждаме негов актуално безкраен номер, което противоречи на изходната ни конструктивистка позиция.

Четвърто, като обърнем сега назад поглед към  скициран по този начин ход на мисълта, можем да я синтезираме така.

Следствие от основната теорема на секвенционалното смятане, предложени от Генцен, е че всяка безкрайна конструктивна монотонна редица от следствия образува херменевтичен кръг. Това е така, понеже в качеството на изходно твърдение (място на наблюдателя, начало на „логическата отправна система“) може да вземем всяко от нея. Забележете, че тъкмо постулиране на канторовска актуална безкрайност би ни позволило да се „измъкнем“ от херменевтичния кръг:

Такова „измъкване“ може ефектно да се демонстрира чрез топологически еквивалентната аксиома на непрекъснатостта на Кантор: всяка безкрайна последователност от вложени интервали (за нас изоморфна на Генценовата секвенционална редица) има обща точка {12} . Тоест, върнато на Генценовия език, всяка безкрайна последователност от следствия доказва едно последно твърдение, очевидно различно от изходното, което – току-що видяхме – е еквивалентно на постулиране на актуална безкрайност.

Обратно, Генценовият конструктивен подход, изказан на топологичен език, изисква тази последна точка да съвпадне – на принципа на цикличното отъждествяване на най-малкия и на най-големия интервал – с изходния, първия интервал, от който стартира монотонната редица (евентуално от интервал, на който първият интервал да е подмножество). Още по-очевидно линейният предразсъдък, който ни е просмукал, може да се демонстрира чрез понятието за сходяща редица. На езика на нейните термини, същият конструктивен подход изисква границата на редицата да съвпадне с първия елемент, които очевидно биха имали различни числови стойности. Понятието за число се разбира по предразсъдък винаги линейно{13} и така наистина имплицира актуална безкрайност, в т.ч. и под формата реалния континуум.

От друга страна, на Генценовото секвенционално смятане лесно можем да придадем структура на циклична група, стига да скандално да отъждествим ‘лъжа’ и ‘истина’ (можем за прегледност да ги прикрепим в точката на наблюдателя, т.е. изходното твърдение), т.е. да е постулирано като едно съвсем необичайно тъждествено истинно и неистинно твърдение, което да играе ролята на неутрален елемент. Груповата операция ще въведем, ако разгледаме импликацията като двуместна операция с операнди предпоставката и следствието и резултат от операцията – следствието. Обратният на даден елемент и самият даден елемент са на еднакъв брой логически дискретни елементарни стъпки идемпотентно преди и след изходния. Тъкмо основната теорема на секвенционалното смятане гарантира винаги наличието на дискретни елементарни стъпки (пътят на нормалното доказателство, от което са отстранени, т.е. възстановени обратно всички изрязвания на междинния извод).

Това разсъждение обаче ни доведе до един поразителен извод: еквивалентност на предпоставката и следствието в херменевтичния кръг. Как? И как да го тълкуваме?

Наистина, ако следствието следва от предпоставката, но и предпоставката следва от следствието, то те са логически еквивалентни: и това е в сила за всеки два елемента на херменевтичния кръг. Тогава логиката придобива статуса на едно (в крайна сметка, безкрайно) перифразиране: „или с други думи …“. От “А следва Б” се оказва ‘А, или с други думи Б’ или ‘А е изоморфно, еквивалентно на Б’, или – както според обичайното разбиране за херменевтика – ‘Б изтълкувано като А и на свой ред, А изтълкувано като Б’ или ‘Б е метафора на А, а и А е метафора на Б’.

От къде идва тогава вече само илюзията за добра наредба в редица от следствия? Възможните отговори обаче са два. Първият и сякаш по-очевидният е, че тя остава валидна за всяка крайна последователност, при която херменевтичен кръг по описания начин ще продължим да вярваме, че е логически забранен, приравнявайки го на опозорения „порочен кръг“. Другият възможен отговор би премахнало обаче това ограничение що се отнася до валидния логически статус и на краен херменевтичен кръг. Той ще разграничи двата типа импликации, а именно от предпоставката към следствието и обратно, ето така:

Едно от двете преминава през особена точка или двете преминават през различни особени точки. Най-естествено е тази особена точка да се тълкува като началото на логическата координатна система, свързана с наблюдателя, накратко като (логическия) наблюдател, в която херменевтичният кръг се „снажда“, затваря се. Това тълкувание е очевидно конвенционално: особената точка, през която едната импликация, преминава, а другата – не, първо можем да поставим на произволно място в кръга (друг логически наблюдател, а оттук универсалност на херменевтичния кръг), а второ, може да тълкуваме и като външна на наблюдателя, например като „трансцендентната точка на безкрайността“, като „сакралната точка“ и пр.

След като сме разграничили двата типа херменевтични следствия, бихме могли да разграничим и два типа еквивалентност: логическа, при която нито правата, нито обратната импликация не преминава през особената точка, полюса на херменевтичния кръг, и херменевтична, при която (поне) една от двете преминава.

Така Генценовото секвенционално смятане ни въоръжава с широк набор инструменти за построяване на цяла фамилия нов тип логики, които можем да наричаме херменевтични.

Има множество възражения относно финитното тълкуване на трансфинитната индукция, някои от които споделям и аз (Пенчев 2009: 249-254). Въпреки това и при нефинитното ѝ тълкуване може да се набележи стратегия за обосноваване на математиката на основа на аритметиката, която обаче се разделя на две взаимно и независимо обосноваващи се области – Пеанова и Генценова аритметика. Първата си служи с обичайна индукция и може да обоснове Генценовата аритметика, включваща трансфинитната индукция. На свой ред Генценовата аритметика обосновава Пеановата. Това съм нарекъл и описал като стратегия за дуално обосноваване на аритметиката (Пенчев 2009: 232 и сл.).

Така се избягва порочен кръг в обосноваването по модел, предвиден от самата природа, и заложен в квантовата механика: двете аритметики се разглеждат като дуални или допълнителни. С това собствено се построява възможно достатъчен модел в аритметиката на формализма на квантовата механика, претендиращ посредством теоремата за отсъствие на скрити параметри и за самообоснованост. Заедно с това обаче, имплицитно на основата на построения модел,  може да се набележи стратегия за отхвърляне на довода на Гьодел (т. нар. първа теорема за непълнотата) в качеството му на теорема и ново негово осмисляне като аксиома, разделяща математиката на два типа – Гьоделова и Хилбертова (Пенчев 2010), според приемане или не на твърдение, съвпадащо или еквивалентно с т. нар. първа теорема за непълнотата. Философски осмислено, разделението между Гьоделова и Хилбертова математика означава съответно отхвърляне или приемане заедно и на пълнота  и непротиворечивост на математиката, и на един съвременен тип (дуално) питагорейство {14} .

По-нататък, за да изясним съотношението на пълнота и непротиворечивост в квантовата механика, ще привлечем теоремата на Кохен и Шпекер (Kochen, Specker 1967: 70) и по-точно следствието, формулирано на същата страница, за отсъствие на изображение на сферата в бит, което да е в състояние да удовлетвори определено условие. Тъй като настоящият текст е насочен философски, ще си позволим направо да формулираме една интерпретация на това следствие като отсъствие на изображение на кюбит в бит, както и на цялостността от квантов обект и уред в проста адитивна съвкупност от тези две или с нашите термини, в пълна, непротиворечива,адитивна съвкупност от тези два полюса.

Не е ли обаче подобно тълкувание именно потвърждение на подхода на Гьодел за несъвместимост на пълнота и непротиворечивост и на територията на квантовата механика? Не! Това е само потвърждение за несъстоятелността на похода на Айнщайн и сподвижници за „Светия граал“ – „скритите параметри“ в квантовата механика: такива не може да има! Според теоремата никоя квантова цялостност не може да се представи чрез изображение в две части, напр. и най-естествено те могат да бъдат квантов обект и уред, което да е пълно, непротиворечиво и цялостната система да се представя като се представи като проста сума от тези две части. Всъщност от известна гледна точка смисълът на интерпретацията на прякото следствие от теоремата е тривиален: цялостността на системата може да се представи пълно и непротиворечиво само неадитивно.

Всъщност следва да се отхвърли като противоречива не повече от едновременната употреба на два концепта на Айнщайн – „елемент на реалността“ и „скрит параметър“ (Einstein, Podolsky, Rosen 1935). По-детайлно: не е възможно всички скрити квантово-механични наблюдаеми да имат фиксирани стойности и те да бъдат независими от уреда. С други, и то прости думи: „скритите параметри“ не могат да са „елементи на реалността“.

Освен това теоремата на Кохен и Шпекер (1967) разширява обхвата на тази на фон Нойман (1932) за отсъствие на скрити параметри, тъй като изяснява, че дори и за комутиращи величини следва да се изключи някакво хипотетично пълно представяне чрез скрити параметри, тъй като неговата невъзможност произлиза от наличието на дискретност, т.е. от самия фундамент на квантовата механика, а не от некомутативността, каквото е ширещото се заблуждение преди тяхното осветление, валидно само за част, да речем „половината“ двойки величини. Всъщност некомутативността би могла да се съпостави с времето, чието моменти представят единственият пример на некомутативност на стойности сред физическите величини. Тогава отсъствието на скрити параметри ще се припише на по-фундаменталната дискретност (числовост, а оттук и холизъм), в чийто род попада и вида на времето като своеобразно „физическо броене”.

Този техен извод е твърде важен и за философския ракурс на настоящия текст. Цялостността следва да бъде приравнена не на дуалността, а на дискретността, в крайна сметка на числовостта. Циклично-холистичният подход и неопитагорейският подход за фундаментализиране на математическите структури са в същността си еквивалентни. От последния дуалността е не повече от необходимо следствие.

Ако си позволим да дадем като пример една метафора или илюстрация от китайската мисловна традиция, то тъкмо хексаграмите на И Цзин извикват към живот Ин и Ян, в европейската традиция – ‘небитието’ и ‘битието’. Акцентът в последната е категорично поставен върху второто, а първото се пренебрегва до степен да се тълкува като отсъствие на битие. Ще видим, че ролята на небитието в една циклично-холистична парадигма е специфично творяща разнообразието и в този смисъл равностойна на битието. И така, цялостността и числовостта (в обобщен смисъл) са еквивалентни и само те могат да породят дуалността и заместващата се, изключващата се дуална еквивалентност на полюсите. Едва вторично, тя се разгръща като посока, наредба, оценка, история, прогрес в рамките на някаква линейност между нисшо и висше, зло и добро и прочие разнопоставяне на полюсите, което поражда характернoтo за европейската философска традиция еднообразно изобилие или дори „вакханалия“ от всякакви имена за двойки полюси, непосилно стремейки се чрез правилния избор на тези имена да постигне завинаги загубената в двуполюсността цялост.

Сега можем да се завъ