v'98: Повърхнини в многомерното пространство. Повърхнини от втора степен

Уводни бележки

В тази глава са разгледани повърхнините (и в частност повърхнините от втора степен) в п-мерното пространство Rⁿ или Сⁿ. Те се определят чрез уравнение от вида
ƒ(x) = о
където
ƒ : Rⁿ -> R
е полином относно
x = (x₁, x₂,..., x_n) = [x₁, x₂,..., x_n]^T.
За такива геометрични обекти (или фигури) казваме, че са с размерност n - 1, или, еквивалентно, с коразмерност 1. Те се наричат още хиперповърхнини, или накратко повърхнини. Пресичането на два такива обекта в общо положение дава обект с коразмерност 2 и т.н. Обектите с размерност 1 (или с коразмерност n - 1) се наричат линии в Rⁿ. Например в R³ обектите с коразмерност 1 и 2 са познатите ни от класическата геометрия повърхнини и линии. При n = 2 фигурите с размерност 1 са и с коразмерност 1, т.е., тук понятията „линия" и „повърхнина" съвпадат.
Повърхнините от 2 степен в n-мерното пространство се описват с уравнение от вида
ƒ(x) := х^TАх + 2р^Tх + q = 0
където х = [x₁, x₂,..., x_n]^T е текущ вектор (или точка) от повърхнината, А принадлежи

R^nxn е симетрична ненулева матрица, р принадлежи

Rⁿ. Така първоначално повърхнината се определя чрез
   $\frac{n(n+1)}{2} + n + 1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
параметъра (числата, определящи А, р и q; отчита се фактът, че матрицата А е симетрична). Това е твърде голямо число и затова се налага уравнението да се опрости или канонизира. След канонизиране на уравнението то се привежда в опростена форма, зависеща от не повече от n числови константи.
Както в случаите n = 2,3 и тук е удобно да се въведе симетричната матрица
   $M := \left[ \begin{array}{cc} A & p \\ p^T & q \end{array} \right] \in R^{\textrm{(n + 1) x (n + 1)}}$
и вектора
   $x = \left[ \begin{array}{cc} x \\ 1 \end{array} \right] \in R^{\textrm{n + 1}}$
при което уравнението на повърхнината добива вида
х^TМх = 0.
Както и преди може да се покаже, че n-те собствени стойности λ₁,... , λ_n на А, както и величината
J_n+1 := det(М)
са инварианти на уравнението ƒ(x) = 0 при ротации и транслации, например
х = Uξ + x₀.
Вместо собствените стойности е по-удобно да се използват съответните елементарни симетрични функции J_k. Ще напомним, че J_k е сумата от всевъзможните произведения
λ_i₁λ_i₂....λ_{i_k}
на k екземпляра от набора λ := {λ₁,..., λ_n}. Алтернативно, J_k е сумата от главните минори от ред k на матрицата А. В частност J₁ = tr(А) и J_n = det(А).
Случаите n = 2 и n = 3 вече бяха подробно разгледани. Що се отнася до случая n = 1, то от съдържателна гледна точка той не е интересен, защото геометрията на едномерното пространство е твърде „бедна". Нека все пак от съображения за пълнота разгледаме и случая n = 1. Тук уравнението на „кривата" Γ ⊂ R е
Ах² + 2рх + q = 0, А ≠ 0.
Имаме само елиптичен клас с три подслучая:
Е1. Изпълнено е неравенството
   $q_1 = q-\frac{p^2}{A} > 0$
т.е., уравнението има два различни реални корена х₁, x₂ и Γ е двуточково множество с елементи х₁, x₂. Така „едномерната елипса" се свежда до две точки.
Е2. Изпълнено е равенството q₁ = 0, уравнението има двоен реален корен х₁ = х₂ = -р и Γ съдържа единствен елемент х₁. Фигурата е двойна точка.
Е3. Изпълнено е неравенството q₁ > 0, уравнението няма реални корени и Γ е празното множество в R. В комплексния случай Γ ⊂ С е двуелементното множество {х₁, x₂}.
Ако означим със Σ_n броя на различните повърхнини от втора степен в n-мерното пространство, то имаме
Σ₁ = 3, Σ₂ = 9, Σ₃ = 17.
Интересно би било да се получи формула за Σ_n в общия случай. Лесно се проверява, че примерно изразът
Σ_n = n² + 3n - 1
„работи" за n = 1, 2, 3. Колкото и да е странно, това е наистина общата формула за Σ_n, както ще покажем след малко.
Както в случаите n = 1, 2, 3, така и при n > 3 повърхнините от втора степен се делят на три класа: елиптичен, хиперболичен и параболичен в зависимост от вида на собствените стойности на матрицата А. Ще напомним, че вследствие на симетрията си матрицата А има реални собствени стойности λ_i и в частност може да бъде приведена в диагонална форма на Шур с едно ортогонално преобразувание на подобие:
U^TAU = S = diag(λ₁, λ₂,..., λ_n)
където U принадлежи

R^nxn е ортогонална матрица, т.е., U^TU = I_n.

Елиптичен клас

Елиптичният клас (или клас Е) се характеризира с условието, че всички собствени стойности на А са с еднакъв знак, т.е., те са или всичките положителни, или всичките отрицателни. Това означава, че матрицата А е или положително, или отрицателно определена. Без ограничаване на общността ще приемем, че А е положително определена, т.е., че има само положителни собствени стойности. Съгласно критерия на Силвестър необходимото и достатъчно условие симетричната матрица А = [a_ij] да е положително определена е главните й минори А₁, А₂,..., А_n да са положителни, а именно
$A_1 = a_{11} > 0 \textrm{ , } A_2 = \textrm{det} \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array} \right] = a_{11}a_{22} - a_{12}^2 > 0 \textrm{ , } \cdots \textrm{ , } \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A_n = (-1)^n \textrm{det }(A) > 0 .$
А_n = (-1)ⁿdet(А) > 0.
Да извършим смяната
х = Uξ + х₀
където ξ принадлежи

Rⁿ е векторът на новите променливи, транслационният вектор х₀ = -А^-1р се избира така, че да се анулират линейните членове относно ξ, а ортогоналната матрица U привежда А в диагонална форма на Шур. Тези преобразувания са съвършено аналогични на направените в случаите n = 2 и n = 3. В резултат получаваме
λ₁ξ²₁ + λ₂ξ²₂ + .... + λ_nξ²_n + q₁ = 0
където
q₁ = q + x^T₀Ax₀ + 2р^Tх₀ = q - р^TА^-1р.
Вижда се, че фигурата е централна, тъй като наред с точката ξ тя съдържа и точката -ξ.
Тук са възможни три случая в зависимост от знака на числото
   $q_1=\frac{J_{n+1}}{J_n}$
(ще напомним, че λ_i > 0 по предположение).
Случай Е1 (същински елипсоид) Този случай се характеризира с условието q₁ < 0. След разделяне с -q₁получаваме
   $\frac{x_1^2}{a_1^2} + \frac{x_2^2}{a_2^2} + ... + \frac{x_n^2}{a_n^2} = 1$
където
   $a_i : = \sqrt{ \frac{-q_1}{\lambda _i} }$
(тук за удобство се върнахме към старото означение х вместо ξ). При
а₁ = а₂ = .... = а_n = а > 0
имаме сфера с радиус а. Ако само n - 1 от числата a_i са равни помежду си, например а₂ = a₃ = .... = а_n, имамеротационен елипсоид с ос Ох₁.
Случай Е2 (точка) В този случай имаме q₁ = 0, или
λ₁ξ²₁ + λ₂ξ²₂ + .... + λ_nξ²_n = 0.
Предвид на положителността на числата λ_i, единственото решение на горното уравнение е x₁ = х₂ = .... = х_n = 0, т.е., х = 0.
В комплексния случай фигурата е пресечница на различни комбинации от равнини в Сⁿ, минаващи през началото.
Случай Е3 (празно множество) Този случай се характеризира с условието q₁ > 0. Няма реални координати, които да удовлетворяват уравнението и в Rsⁿ фигурата е празно множество. В Сⁿ фигурата се наричаимагинерен елипсоид.

Хиперболичен клас

Хиперболичният клас (или клас X) се характеризира с условието, че собствените стойности на А са ненулеви,
det(A) = λ₁λ₂...λ_n ≠ 0
но има поне две с противоположни знаци. Това означава, че матрицата А е (знако)неопределена.
След извършване на същите преобразувания, както при елиптичния клас, стигаме до уравнението
λ₁ξ²₁ + λ₂ξ²₂ + .... + λ_nξ²_n + q₁ = 0
Виждаме, че фигурите от хиперболичния клас също са централни.
В зависимост от вида на числото q₁ са възможни два основни случая.

Случай X1 (същински хиперболоиди) Този случай се характеризира с неравенството q₁ ≠ 0. Да предположим освен това, че матрицата А има m на брой собствени стойности λ₁,..., λ_m със знак, противоположен на знака на q₁ и n - m на брой собствени стойности λ_m+1,..., λ_n със знака на q₁. След разделяне на двете страни на уравнението с -q₁ получаваме
   $\frac{x_1^2}{a_1^2} + ... + \frac{x_m^2}{a_m^2}-\frac{x_{m+1}^2}{a_{m+1}^2}- ... -\frac{x_n^2}{a_n^2} = 1$
където
   $a_i : = \sqrt{ \frac{\lambda _i}{-q_1} }; 1 \le i \le m; a_j = \sqrt{ \frac{\lambda _j}{q_1} }, m + 1 \le j \le n.$
Очевидно хиперболоидите от този тип са точно n - 1 на брой, колкото са възможните стойности 1, 2,..., n-1 за m. Ще казваме, че всеки от горните хиперболоиди е от тип (m). При това са възможни следните подслучаи.
1. При n ≥ 2 и m = 1 имаме двулистен хиперболоид Γ, състоящ се от две части, разположени в полупространствата х₁ ≤ -a₁ и х₁ ≥ а₁. Равнините х₁ - d (|d| > а₁) пресичат Γ по (n - 2)-мерни елипсоиди, а равнините х_i = d (i = 2,..., n) пресичат Γ по (n - 1)-мерни двулистни хиперболоиди.
2. При n ≥ 4 и 2 ≤ m ≤ n-2 имаме хиперболоид, който пресича всяка от равнините х_i = d (i = 1,... , n) или по (n-2)-мерни хиперболоиди, или по (п - 2)-мерни конуси.
3. При n ≥ 3 и m = n - 1 имаме хиперболоид Γ, аналогичен на еднолистния. Равнините х_n = d пресичат Γ по (n - 2)-мерни елипсоиди, чиито полуоси растат заедно с |d|. Равнините х_i = d (i = 1,..., n - 1) пресичат Γ по (n - 2)-мерни хиперболоиди или конуси.
Може да се докаже, че всички хиперболоиди с изключение на двулистните съдържат линейни образуващи.
Да се върнем към общия случай. Всяко т-мерно линейно многообразие
x_m+1 = d_m+1,...., x_n = d_n
пресича хиперболоида от тип (m) по (m - 1)-мерен елипсоид. Сред (n - m)-мерните линейни многообразия от вида
x₁ = d₁,... , x_m = d_m
има такива, които пресичат хиперболоида по (n - m - 1)-мерни елипсоиди. Изобщо, в хиперболоида се съдържат r-мерни елипсоиди за всички размерности до
r = max{m - 1, n - m - 1}
включително, но няма елипсоиди с по-висока размерност.
Случай Х2 (конуси) Този случай съответства на равенството q₁ = 0 или J_n+1 = 0. Да предположим освен това, че матрицата А има m на брой положителни собствени стойности λ₁,..., λ_m и n - m на брой отрицателни собствени стойности λ_m+1,..., λ_n. Получаваме
   $\frac{x_1^2}{a_1^2} + ... + \frac{x_m^2}{a_m^2}-\frac{x_{m+1}^2}{a_{m+1}^2}- ... -\frac{x_n^2}{a_n^2} = 1$
където
   $a_i : = \sqrt{ \frac{\lambda _i}{-q_1} }; 1 \le i \le m; a_j = \sqrt{ \frac{\lambda _j}{q_1} }, m + 1 \le j \le n.$
Очевидно можем да считаме, че m ≥ n/2, тъй като в противен случай след умножаване на уравнението с -1 стигаме до уравнение с m ≥ n/2. Така броят K_n на (n - 1)-мерните конуси е n/2 при четно n и (n-1)/2 при нечетно n. Ще казваме, че всеки такъв конус е от тип (m).
Равнината х_n = d ≠ 0 пресича конуса от тип (m) по (n - 2)-мерен елипсоид при m = n - 1, и по (n-2)-мерни хиперболоиди при n ≥ 4 и m < n - 1.
Конусът се състои от всевъзможните прави през началото и през точки от пресечницата на конуса с дадена равнина х_n = d ≠ 0.

Параболичен клас

Параболичният клас (или клас П) се характеризира с условието, че поне една от собствените стойности на А е нулева,
det(А) = 0.
Тъй като по условие матрицата А е ненулева, то не може всички собствени стойности на А да са равни на нула. Така при параболичния клас матрицата А може да има от 1 до n-1 нулеви собствени стойности включително.
При параболичния клас матрицата А е особена и не е възможно в общия случай да се анулират чрез транслация всички линейни членове в уравнението.
Нека матрицата А има r (1 &lr; r ≤ n-1)на брой ненулеви собствени стойности (ще отбележим, че предвид симетричността на матрицата А рангът й rank(A) е равен на броя на ненулевите й собствени стойности), като U принадлежи

R^nxn е ортогоналната матрица, която привежда А в диагонална Шур-форма:
U^TАU = diag(λ₁,..., λ_n, 0,..., 0).
Тогава след ротацията х = Uх' (ще отбележим, че тук и по-нататък знаците ' (чете се "прим") и '' (чете се "секонд") не означават диференциране) уравнението на повърхнината се записва като
λ₁x'₁ + ... + λ_rx'_r + 2b₁x'₁ + ... + 2b_nx'_n + q = 0
където
[b₁, b₂,..., b_n] := р^TU.
С помощта на транслациите
   $x_i^{''} = x_i^' + \frac{b_i}{\lambda_i}, 1 \le i \le r$
анулираме линейните по х'₁,..., х'_r членове:
λ₁х''²₁ + .... + λ_rх''²_r + 2b_r+1х''_r+1 + .... + 2b_nх'_n + q' = 0
където
   $q^' := q-\frac{b_1^2}{\lambda_1}-....-\frac{b_r^2}{\lambda_r}.$
Това именно е уравнението, с което ще започнем нашия анализ. Видът на получените фигури зависи изключително от числата r и
   $b = \sqrt{ b_{r+1}^2 + ... + b_n^2 }.$
Ще разделим повърхнините от параболичния клас на три групи.
В първите две групи се съдържат същински параболоиди. Те се характеризират с условието r = n-1 и b = |b_n| > 0. Тук уравнението е от вида
λ₁х²₁ + .... + λ_n-1х²_n-1 + 2b_nх_n + q' = 0
където
   $q^' = \pm \sqrt{ -\frac{J_{n+1}}{J_{n-1}} }$
В третата група, която обхваща най-много случаи, се съдържат всевъзможните параболични цилиндри (т.е., фигурите, в чиито уравнения отсъства поне една от променливите). Те се получават при r < n-1 и/или b = 0. Всяка фигура от третата група може да се разглежда като получена от някоя повърхнина в R^n-1 чрез успоредно пренасяне по всевъзможните направления на някакво подпространство П ⊂ Rⁿ с размерност 1 ≤ dim(Π) < n-1.
Случай П1 (елиптичен параболоид) При този случай
r = n - 1, b > 0
и всички собствени стойности λ₁,..., λ_n-1 са с еднакъв знак. Правим транслацията
   $x_n^{''} = x_n^' + \frac{q^'}{2b_n}$
и делим двете страни на уравнението с -b_n. Получаваме уравнението
   $\frac{x_1^2}{\alpha_1} + ... + \frac{x_{n-1}^2}{\alpha_{n-1}} = 2x_n$
в което всички параметри α₁,...,α_n-1 са с еднакъв знак (тук отново използваме означението х вместо х''). Получената фигура се нарича (същински) елиптичен параболоид. Фигурата има връх в точката х = 0 и се намира в едно от полупространствата х_n ≤ 0 (ако параметрите α_i са отрицателни) или х_n > 0 (ако параметрите α_i са положителни). Нека за определеност тези параметри са положителни. Тогава сеченията на фигурата с равнини x_n = d > са (n-2)-мерни елипсоиди, а сеченията й с всяка равнина x_i = d_i (1 ≤ i ≤ n-1) са (n-2)-мерни елиптични параболоиди.
Случай П2 (същински хиперболични параболоиди) Този случай се характеризира с условията r = n-1, b > 0, като поне две от собствените стойности λ₁,... ,λ_n-1 на А са с различни знаци. Това са най-сложните повърхнини от втора степен. Очевидно съществуват толкова вида хиперболични параболоиди, колкото вида са конусите в R^n-1.
Случай П3 (цилиндри) В този случай имаме r < n-1 и/или b = 0. Да разгледаме първо случая r < n-1 и b > 0. Да извършим ротация в (n-r)-мерното подпространство
x''₁ = ... = x''_r = 0
като положим
   $x_{r+1}^{''} := \frac{1}{b}(b_{r+1}x_{r+1}^' + ... + b_nx_n^').$
Останалите нови променливи x''_r+2,... , x''_n определяме по следния начин. Нека
W принадлежи

R^(n-r)x(n-r)
е ортогонална матрица, чиито първи ред е
   $\left[ \frac{b_{r+1}}{b} \textrm{ , } \cdots \textrm{ , } \frac{b_n}{b} \right].$
Тогава полагаме
   $\left[ \begin{array}{ccc} x_{r+1}^{''} \\ \vdots \\ x_n^{''} \end{array} \right] = W \left[ \begin{array}{ccc} x_{r+1}^' \\ \vdots \\ x_n^' \end{array} \right].$
Така получаваме уравнението
λ₁х''²₁ + .... + λ_rх''²_r + 2b_r+1х''_r+1 + q' = 0
След транслация по х''_r+1 с цел анулиране на свободния член и разделяне с -b получаваме
   $\frac{x_1^2}{\alpha_1} + ... + \frac{x_r^2}{\alpha_r} = 2x_{r+1}$
(използваме отново старите променливи х вместо х"). Получихме параболичен цилиндър.
Нека накрая r < n-1 и b = 0. Тогава имаме уравнението
λ₁х²₁ + .... + λ_rх²_r + q' = 0
което описва цилиндър, който е или елиптичен (ако числата λ₁,..., λ_r са с еднакви знаци; тук се включват (n-r)-мерното подпространство х₁ = ... = х_r = 0 и празното множество), или от хиперболичен тип (ако сред числата λ₁,..., λ_r има с различни знаци; тук се включват и цилиндрите с основа конус).

Брой на видовете повърхнини

Да разгледаме въпроса за пресмятане на броя Σ_n на различните видове повърхнини от втора степен в Rⁿ. Нека E_n, H_n и P_n е броят съответно на фигурите в елиптичния, хиперболичния и параболичния клас в Rⁿ. Тогава
Σ_n = E_n + H_n + P_n.
По-нататък за отделните събираеми в Σ_n получаваме следното.
1. В елиптичния клас винаги имаме три случая и
Е_n = 3.
2. В хиперболичния клас имаме n-1 същински хиперболоида (случай X1) и K_n конуса (случай Х2). Така
H_n = n - 1 + К_n.
3. В параболичния клас имаме един елиптичен параболоид (случай Π1), К_n-1 хипреболични параболоида (случай П2) и Σ_n-1 цилиндъра (случай П3). Следователно
Р_n = 1 + K_n-1 + Σ_n-1.
Ще отчетем и обстоятелството, че
К_n + К_n-1 = n - 1.
От горните разсъждения получаваме
Σ_n = 3 + n - 1 + К_n + 1 + К_n-1 + σ_n-1
= Σ_n-1 + 2n + 2, n ≥ 2.
Към това рекурентно уравнение за Σ_n трябва да прибавим условието Σ₁ = 3. Може да се докаже, че решението на получената рекурентна задача има вида
Σ_n = An² + Вn + С.
След заместване в уравнението получаваме
2(1 - А)n + А - В + 2 = 0
за всяко n ≥ 2. Оттук 1 - А = 0 и А - В + 2 = 0. Следователно А = 1, В = 3 и
Σ_n = n² + 3n + С.
Константата С определяме от условието Σ₁ = 3, което дава С = -1. Окончателно имаме
Σ_n = n² + 3n - 1.
Така определихме броя на различните класове повърхнини от втора степен в реално пространство с произволна размерност.

Елементи на аналитичната геометрия: криви и повърхнини от втора степен,
проф. д-р Михаил Константинов

Алгебрични и плоски криви. Криви от втора степен
Класификация и канонизация на кривите от втора степен.
Алгебрични повърхнини. Повърхнини от втора степен
Класификация и канонизация на повърхнините от втора степен.
Повърхнини в многомерното пространство. Повърхнини от втора степен.

v'98