v'98: Питагоровата теорема в многомерното пространство

Станчо Вълканов Павлов
27 юли 2010 г.

Двумерно пространство

Ще разгледам две доказателства в двумерния случай, желаейки де ги обобщя.

Векторите по катетите са перпендикулярни.
Скаларното им произведение е нула.

Което показва че квадрата на дължината на вектора по хипотенузата е сума от квадратите на дължините на векторите по катетите.

Ще разгледам векторите
S₁ , S₂ и Δ, които са перпендикулярни на страните на правоъгълния триъгълник.
Тяхната сума е нулевият вектор, като векторите S₁ и S₂ са перпендикулярни.
S₁ + S₂ + Δ = 0
Прехвърляйки Δ от другата страна и повдигайки на квадрат достигам до доказателството.

Мечтая

Ще предположа, че в n-мерното пространство векторите S₁ , S₂ ... S_n са перпендикялярни помежду си, насочени са навън n- мерното тяло и дължините им са равни на "обемите" на страните на "тялото", каквото и да означават думите, поставени в кавички.
Нека Δ е вектор с дължина равна на "обема" на "страната" срещу "правия ъгъл" и

Повдигайки на квадрат и отчитайки взаимната перпендикулярност на векторите отляво, получавам търсеното равенство.

Тримерно пространство

Нека a , b и c са взаимно перпендикулярни вектори.
Векторите a, b и c са с дължини, равни на лицата на съответните правоъгълници и са насочени навън от тетраедъра.
Векторът Δ = ( c - a ) x ( b - a ) също е насочен навън и е равен на лицето на успоредника, прикрепен към векторите от основата c - a и b - a . Използвайки векторното произведение и неговите свойства се доказва, че: a x b + b x c + c x a + Δ = 0.
От взаимната перпендикулярност на векторните произведения следва Питагоровата теорема в тримерното пространство:(a x b)² + (b x c)² + (c x a)² = Δ²

Едно трудно доказателство на Питагоровата теорема в четиримерното пространство

Ще работя по следния план.
1 ) Избирам естествения ортонормиран базис, състоящ се от единичните вектори, колинеарни на векторите a₁ , a₂ , a₃ и a₄ .
Тези единични вектори ще ги означавам с Е₁ , Е₂ , Е₃ и Е₄ .
2) На всеки три вектора Δ₁ , Δ₂ и Δ₃ от четиримерното пространство съпоставям число, което ще наричам "обем" на паралелепипеда, определен от тях.
Трите вектора Δ₁ , Δ₂ и Δ₃ определят тримерно подпространство в четиримерното.
Това подпространство ще го означавам с < Δ_i > i = 1..3 .
След това намирам ортонормиран базис в подпространството < Δ_i >
Ще означа този ортонормиран базис с e₁ , e₂ и e₃ и ще изразя векторите Δ_i чрез базисните и след това ще намеря смесеното им произведение.

Търся вектора e₃ от условията:

От първото условие следва, че

, като p + q + r + s = 0.

От условието p + q + r + s = 0 получавам:

Въвеждам означенията:

Тогава k = - S₃₄ и l = S₁₂ .
Ще въведа още едно означение.
Ако векторът v има координати

в даден базис ще използвам символиката

По този начин координатите на e₃ се записват така:

Или даже още по-кратко:

Нанасям резултатите прегледно в таблица.

Смятам да нормирам намерения базис.
За целта ще намеря дължините на векторите e₁ , e₂ и e₃ .

Изразът в скобите ще означа с

Получих, че:

Полагам:

Ще изразя векторите Δ _i чрез базисните вектори.
За да направя това трябва да определя скаларните произведения Δ_i.e_j.

, където

Коефициентите α_ij ще представя като матрица V = (α_ij)
Нейната детерминанта е равна на ориентирания обем на паралелепипеда, определен от векторите Δ_i.

Векторно произведение на n-1 вектора в n -мерното векторно пространство

Нека векторите a₁ , a₂ , … , a_n-1 , имат координати

в ортонормирания базис

Под векторно произведение на векторите a_i ще разбирам вектора

Последната детерминанта ще означавам с

, като под символа a_i ще разбирам реда

i = 1, 2 ,3 … n.

Доказват се свойствата
1 ) Ако разменим местата на два реда във векторното произведение, то променя своя знак.
В това свойство се включва и първият ред от последната детерминанта.
2 ) Векторното произведение не се променя, ако умножим един от последните n-1 реда па число и го прибавим към друг от тях.
3 ) Векторното произведение

е перпендикулярно на всеки един от векторите a_i .
4 ) Векторното произведение е инвариантно по отношение на ортонормирания базис E .

(n-1) - мерен обем в n-мерното векторно пространство на паралелепипеда, определен от векторите

ще наричам дължината на вектора

.
Ще наричам този вектор изразяващ обема на системата

, състояща се от (n-1) n-мерни вектори.
В n-мерното векторно пространство връзката между обема на тетраедъра и паралелепипеда, определени от системата вектори

се задава с формулата:

За ориентацията

Нека в n -мерното векторно пространство е зададен ортонормиран базис

и
система от n линейно независими вектори

.
Системата

ще наричам положително ориентирана, ако

е положителна.
Тук, както и преди a_i е редът от координатите на вектора a_i в базиса E .
Предложение
Системата

, където a_i са линейно независими вектори е еднакво ориентирана със системата

, където

Векторът

има координати, които са равни на

- адюнгираните количества на i-тия ред на детерминантата

Детерминантата

ще бъде равна на

Сумата от векторите, изразяващи обемите на стените на многомерен тетраедър имат нулева дължина

Ако

е тетраедърът определен от векторите a_i от n-мерното векторно пространство, то той има n + 1 на брой (n-1)-мерни стени.
Една стена - S_i се определя като изключим i-тия вектор от системата

На стената

съпоставям вектор

, изразяващ обема на тази стена.
Векторът S_i е перпендикулярен на страната S_i .
Последната стена се определя от векторите

Ще означа вектора, изразяващ обема на тази стена с:

Ще покажа, че:

При доказателството ще използвам метода на математическата индукция, както и свойствата на детерминантите.
При n = 2 :

При n = 3 :

Вече се забелязват тенденциите.
В началото премествам реда E в началото на детерминантите, определящи векторните произведения.
При това знаците се променят алтернативно.
Използвайки индукционното допускане, свеждам сумата на първите (n-1) събираеми до вида:

при което се получава:

След това изваждам втория ред от второто събираемо от останалите редове и го премествам на мястото на последния, разменяйки го последователно с по-долните.
Последната операция променя знака (n-2) пъти .
Накрая получаваме:

Питагоровата теорема в n-мерното пространство

Нека са дадени n взаимно перпендикулярни вектори в n-мерното пространство

Векторът

, бидейки перпендикулярен на своите множители е колинеарен на ai .
Следователно векторите S_i са перпендикулярни помежду си.
Големината на вектора S_i е равна на (n-1) мерния обем на паралелепипеда, определен от векторите

Лицето на тетраедъра е 1/n! от лицето на този паралелепипеда.
Вече доказах, че

Повдигайки скаларно на квадрат и отчитайки взаимната перпендикулярност на векторите отляво получаваме

Умножавайки по множителя 1/n! получаваме Питагоровата теорема в n-мерното пространство.

В правоъгълния тетраедър в n-мерното пространство сумата от квадратите на (n-1)-мерните обеми на страните, прилежащи на правия ъгъл е равна квадрата на (n-1)- мерния обем на срещуположната на правия ъгъл страна.

Питагоровата теорема в многомерното пространство